Криволинейный интеграл второго рода

Рассмотрим этот предельный переход в общем виде.

Пусть функции \(P\left( {x,y,z} \right),Q\left( {x,y,z} \right),R\left( {x,y,z} \right)\) непрерывны в точках гладкой кривой \(L:\left\{ {x = x(t),\;y = y(t),\;z = z(t)} \right\},\;t \in \left[ {\alpha ,\beta } \right]\). 

Точка \(A = \left( {x(\alpha ),\;y(\alpha ),\;z(\alpha )} \right)\) называется начальной точкой кривой \(L\), точка \(B = \left( {x(\beta ),\;y(\beta ),\;z(\beta )} \right)\) – конечной. 

Предположим, что движение по кривой происходит от начальной точки к конечной.

Кривая, для которой выбраны начальная и конечная точка и указано направление движения, называется ориентированной: \({L^ + }\) означает, что движение по кривой происходит от начальной точки \(A\) к конечной \(B\), \({L^ - }\) от \(B\) к \(A\).

Используем тот же алгоритм построения интегральных сумм, но будем считать, что \(F\) – это вектор-функция с координатами \({\bf{F}} = \left( {P\left( {x,y,z} \right),Q\left( {x,y,z} \right),R\left( {x,y,z} \right)} \right)\). Интегральная сумма примет вид

\({I_n}(\Delta {\ell _k},{M_k}) = \sum\limits_{k = \,1}^n {{\bf{F}}\left( {{M_k}} \right) \cdot {{\bf{T}}^0}\left( {{M_k}} \right)\Delta {\ell _k}} \)                              \((3)\)

Если при \(\lambda \,\, \to 0\) существует конечный предел интегральных сумм (3), не зависящий ни от способа разбиения кривой \(L\) на дуги \((\Delta {\ell _i})\), ни от выбора точки \({M_k}(x_k^*;\,\,y_k^*;\,\,z_k^*)\), его называют криволинейным интегралом второго рода от вектора - функции \({\bf{F}} = \left( {P,Q,R} \right)\) по кривой \(L\).

Итак, по определению

\(\int\limits_L {{\bf{F}} \cdot {{\bf{T}}^0}\,dl} = \mathop {\lim }\limits_{\lambda \to 0} \sum\limits_{k = \,1}^n {{\bf{F}}\left( {{M_k}} \right) \cdot {{\bf{T}}^0}\left( {{M_k}} \right)\Delta {\ell _k}} \)               \((4)\)