Криволинейный интеграл второго рода

Перечислим некоторые свойства криволинейного интеграла второго рода. 

Кривую \(L\) будем предполагать гладкой, а функции \(P\), \(Q\), \(R\) непрерывными.

1. Изменение знака интеграла при смене направления движения по кривой на противоположное.

\(\int\limits_{{L^ - }} {{\bf{F}} \cdot {{\bf{T}}^0}\,dl} = - \int\limits_{{L^ + }} {{\bf{F}} \cdot {{\bf{T}}^0}\,dl} \)

2. Линейность.

Для любых действительных чисел \(\alpha \) и \(\beta \) и векторных функций \(F\) и \(G\) справедливо равенство:

\(\int\limits_L {\left( {\alpha {\bf{F}} + \beta {\bf{G}}} \right) \cdot {{\bf{T}}^0}\,dl} = \alpha \int\limits_L {{\bf{F}} \cdot {{\bf{T}}^0}\,dl + \beta \int\limits_L {{\bf{G}} \cdot {{\bf{T}}^0}\,dl} } \)

(точнее, если существуют оба интеграла в правой части, то существует и интеграл в левой части и равен выражению, стоящему в правой части).

3. Аддитивность.

Если существует интеграл по кривой \(AB\) и кривая \(AB\) разбита точкой \(C\) на два участка \(AC\), \(CB\), то

\(\int\limits_{{L_{AB}}} {{\bf{F}} \cdot {{\bf{T}}^0}\,dl} = \int\limits_{{L_{AC}}} {{\bf{F}} \cdot {{\bf{T}}^0}\,dl + \int\limits_{{L_{CB}}} {{\bf{F}} \cdot {{\bf{T}}^0}\,dl} } \)

(точнее, если существуют оба интеграла в правой части, то существует и интеграл в левой части и равен выражению, стоящему в правой части).