Криволинейный интеграл второго рода
4. Вычисление криволинейных интегралов второго рода
Рассмотрим различные способы записи и вычисления криволинейного интеграла второго рода.
Для гладкой параметрически заданной пространственной кривой
\(dl = \left| {\bf{T}} \right|dt = \sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {z'\left( t \right)} \right)}^2}} dt\) \((5)\)
где \({\bf{T}} = \left( {x'\left( t \right),y'\left( t \right),z'\left( t \right)} \right)\) – вектор касательной к кривой
подынтегральное выражение в левой части равенства (4) можно представить в виде
\({\bf{F}} \cdot {{\bf{T}}^0}\,dl = {\bf{F}} \cdot \,\frac{{\bf{T}}}{{\left| {\bf{T}} \right|}}\left| {\bf{T}} \right|dt = {\bf{F}} \cdot {\bf{T}}dt = P \cdot x'\left( t \right)dt + Q \cdot y'\left( t \right)dt + R \cdot z'\left( t \right)dt = Pdx + Qdy + Rdz\)
Обозначение \(\int\limits_L {Pdx + Qdy + Rdz} \) используется чаще, чем \(\int\limits_L {{\bf{F}} \cdot {{\bf{T}}^0}dl} \) или \(\int\limits_L {{\bf{F}} \cdot {\bf{T}}dt} \).
Для точек параметрической кривой \(L:\left\{ {x = x(t),\;y = y(t),\;z = z(t)} \right\},\;t \in \left[ {\alpha ,\beta } \right]\) вектор - функция \({\bf{F}}\) примет вид
\({\bf{F}} = \left( {P\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right),Q\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right),R\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)} \right)\)
Учитывая, что \(dx = x'\left( t \right)dt,\;dy = y'\left( t \right)dt,\;dz = z'\left( t \right)dt,\) получаем формулу для вычисления криволинейного интеграла второго рода
\(\int\limits_L {Pdx + Qdy + Rdz} = \int\limits_\alpha ^\beta {P\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)x'\left( t \right) + Q\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)y'\left( t \right)} + \)
\(\left. { + R\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)z'\left( t \right)} \right)dt\) \((6)\)
Если кривая \(L\) задана векторным уравнением
\({\bf{r}}\left( t \right) = x(t){\bf{i}} + y(t){\bf{j}} + z(t){\bf{k}},\;\;\;\;\;\;\;\;t \in \left[ {\alpha ,\beta } \right]\),
то криволинейный интеграл второго рода обозначают \(\int\limits_L {{\bf{F}} \cdot d{\bf{r}}} \).
\(\int\limits_L {{\bf{F}} \cdot d{\bf{r}}} = \int\limits_\alpha ^\beta {{\bf{F}}\left( {{\bf{r}}\left( t \right)} \right) \cdot {\bf{r'}}\left( t \right)} \,dt = \int\limits_\alpha ^\beta {\left( {P{\bf{i}} + Q{\bf{j}} + R{\bf{k}}} \right) \cdot \left( {x'\left( t \right){\bf{i}} + y'\left( t \right){\bf{j}} + z'\left( t \right){\bf{k}}} \right)} dt = \)
\( = \int\limits_\alpha ^\beta {\left( {P\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)x'} \right.\left( t \right) + Q\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)y'\left( t \right)} + \left. {R\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)z'\left( t \right)} \right)dt\) \((7)\)
Пример 1
Вычислить \(I = \int\limits_{{L_{AB}}} {ydx + \left( {x + z} \right)} dy + \left( {x - y} \right)dz\), где \(L{}_{AB}\) – отрезок прямой, соединяющий точки \(A\left( {1, - 1,1} \right)\) и \(B\left( {2,3,4} \right)\).
Запишем параметрические уравнения прямой \(AB\). Направляющий вектор прямой \(\overline {AB} = \left( {1,4,3} \right)\).
Уравнения прямой: \(x = 1 + t,\;y = - 1 + 4t,\;z = 1 + 3t\).
На отрезке \(\left[ {AB} \right]\) параметр \(t\) изменяется от 0 до 1, \(0 \le t \le 1\).
С учетом, что \(x'\left( t \right) = 1,\;y'\left( t \right) = 4,\;z'\left( t \right) = 3\) по формуле (6) получим
\(I = \int\limits_0^1 {\left( {\left( { - 1 + 4t} \right) + \left( {\left( {1 + t} \right) + \left( {1 + 3t} \right)} \right) \cdot 4 + \left( {\left( {1 + t} \right) - \left( { - 1 + 4t} \right)} \right) \cdot 3} \right)} \,dt = \int\limits_0^1 {\left( {13 + 11t} \right)dt = } \)
\( = \left. {\left( {13t + \frac{{11}}{2}{t^2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{37}}{2}\)■
Если кривая \(L\) плоская \(L:\left\{ {x = x(t),\;y = y(t)} \right\},\;t \in \left[ {\alpha ,\beta } \right]\), то
\(\int\limits_L {P\left( {x,y} \right)dx + Q\left( {x,y} \right)dy} = \int\limits_\alpha ^{{\beta _1}} {\left( {P\left( {x\left( t \right),y\left( t \right)} \right)x'\left( t \right) + Q\left( {x\left( t \right),y\left( t \right)} \right)y'\left( t \right)} \right)dt} \) \((8)\)
Пример 2
Вычислить работу силы \({\bf{F}} = - x{\bf{i}} + y{\bf{j}}\) при перемещении материальной точки вдоль дуги эллипса \(L:{x^2} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1,\;x \ge 0,\;y \ge 0\) от точки \(A\left( {1,0} \right)\) до точки \(B\left( {0,3} \right)\) (Рисунок 2).
Рисунок 2
Запишем параметрические уравнения эллипса, \(x = \cos t,\)\(y = 3\sin t\), в первой четверти \(0 \le t \le \frac{\pi }{2}\).
Тогда работа силы \({\bf{F}}\) на пути \(AB\) вычисляется по формуле
\(A = \int\limits_{AB} { - xdx + ydy = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( { - \cos t(\cos t)' + 3\sin t{{\left( {3\sin t} \right)}^\prime }} \right)} } \,dt = \)
\( = \left. {\left( { - \frac{{{{\cos }^2}t}}{2} + \frac{{9{{\sin }^2}t}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{9}{2} - \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 5\)■
Если кривая \(L\) задана явным уравнением \(y = f\left( x \right),\,\;a \le x \le b\), где \(f\left( x \right)\) – непрерывно дифференцируемая функция, то формула (7) примет вид
\(\int\limits_L {Pdx + Qdy} = \int\limits_a^b {\left( {P\left( {x,f\left( x \right)} \right) + Q\left( {x,f\left( x \right)} \right)f'\left( x \right)} \right)dx} \) \((9)\)
Пример 3
Вычислить \(I = \int\limits_{{L_{AB}}} {2{x^2}dx - \left( {{y^2} - {x^2}} \right)} dy\), где \(L\) – дуга параболы \(y = {x^2}\) с начальной точкой \(A\left( {0,0} \right)\) и конечной точкой \(B\left( {2,4} \right)\).
\(a = 0,\;b = 2\) – абсциссы точек \(A\) и \(B\) соответственно.
Так как \(dy = {\left( {{x^2}} \right)^\prime }dx = 2xdx\), то по формуле (8) получим
\(I = \int\limits_0^2 {\left( {2{x^2} - \left( {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} - {x^2}} \right)2x} \right)dx} = 2\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - {x^5} + {x^3}} \right)dx} = 2\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^6}}}{6} + \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_0^2 = - 8\)■
Если \(L\) задана уравнением \(x = g\left( y \right),\;\;c \le y \le d\), то
\(\int\limits_L {Pdx + Qdy} = \int\limits_c^d {P\left( {g\left( y \right),y} \right)g'\left( y \right)dy} + \int\limits_c^d {Q\left( {g\left( y \right),y} \right)dy} \) \((10)\)
Если \(L\) – отрезок прямой \(x = {x_0}\), то \(\int\limits_L {Pdx} \equiv 0\) для любой функции \(P\), если \(L\) – отрезок прямой \(y = {y_0}\), то \(\int\limits_L {Qdy} \equiv 0\) для любой функции \(Q\).
Пусть \(\alpha \) – угол, составляемый вектором касательной к кривой и положительным направлением оси \(x\) (Рисунок 3). Тогда \(dx = dl\cos \alpha ,\;dy = dl\cos \beta = d\sin \alpha \).
Рисунок 3
Поэтому, подставив эти выражения в левую часть (7), получим
\(\int\limits_L {Pdx + Qdy} = \int\limits_L {\left( {P\cos \alpha + Q\sin \alpha } \right)dl} \) \((11)\)
Заметим, что при изменении направления обхода угол \(\alpha \) изменяется на \(\pi + \alpha \) (Рисунок 4).
Рисунок 4
При этом \(\cos \left( {\pi + \alpha } \right) = - \cos \alpha ,\;\sin \left( {\pi + \alpha } \right) = - \sin \alpha \), и интеграл в правой части (10) меняет свой знак, то есть криволинейный интеграл второго рода по кривой \(L\) зависит от её ориентации.
В случае пространственной кривой
\(\int\limits_L {Pdx + Qdy + Rdz} = \int\limits_L {(P\cos \alpha + Q\cos \beta + R\cos \gamma )dl} \) \((12)\)
\(\cos \alpha = \frac{{x'(t)}}{{\sqrt {{{x'}^2}(t) + {{y'}^2}(t) + {{z'}^2}(t)} }}\),
\(\cos \beta = \frac{{y'(t)}}{{\sqrt {{{x'}^2}(t) + {{y'}^2}(t) + {{z'}^2}(t)} }}\)
\(\cos \gamma = \frac{{z'(t)}}{{\sqrt {{{x'}^2}(t) + {{y'}^2}(t) + {{z'}^2}(t)} }}\),
где единичный вектор касательной \({{\bf{T}}^0} = (\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )\).
Формулы (11) и (12) устанавливают связь между интегралами первого и второго рода.
Определение криволинейного интеграла остается в силе и в том случае, когда кривая \(L\) замкнута, то есть начальная и конечная точка кривой совпадают. Такую кривую называют замкнутым контуром и обозначают \(C\). Для плоской замкнутой кривой, положительным направлением обхода называется такое направление, при котором область, ограниченная этой кривой, остается слева (Рисунок 5).
Рисунок 5
Для обозначения криволинейного интеграла по замкнутому контуру \(L\) используется символ
\(\oint\limits_C {Pdx +
Qdy} \) \((13)\)
или 
. Стрелка указывает положительное (против часовой стрелки) направление обхода контура.
Криволинейный интеграл (13) называют также циркуляцией вектора \(F\) по замкнутому контуру \(C\).
Пример 4
Вычислить циркуляцию вектора \({\bf{F}} = xz\,{\bf{i}} + yz\,{\bf{j}} + xy\,{\bf{k}}\) вдоль контура С – линии пересечения сферы \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\) с цилиндром \({x^2} + {y^2} = 1\), лежащей над плоскостью \(Oxy\) при положительном направлении обхода (Рисунок 6).
Рисунок 6
Найдём параметрические уравнения контура.
Подставим \({x^2} + {y^2} = 1\) в уравнение сферы. Получим \({z^2} = 3\), поэтому \(z = \sqrt 3 \) (так как \(z > 0\)). Таким образом, \(С\) – окружность, заданная уравнениями \({x^2} + {y^2} = 1\), \(z = \sqrt 3 \).
Векторное уравнение контура \(С\)
\({\bf{r}}\left( t \right) = \cos t\,{\bf{i}} + \sin t\,{\bf{j}} + \sqrt 3 \,{\bf{k}},\;\;\;\;\;\;\;\;0 \le t \le 2\pi \)
Применим формулу (7).
\({\bf{r'}}\left( t \right) = - \sin t\,{\bf{i}} + \cos t\,{\bf{j}} + 0\,{\bf{k}},\) \({\bf{F}}\left( {{\bf{r}}\left( t \right)} \right) = \sqrt 3 \cos t\,{\bf{i}} + \sqrt 3 \sin t\,{\bf{j}} + \cos t\sin t\,{\bf{k}}\).
\(\int\limits_C {{\bf{F}} \cdot d{\bf{r}}} = \int\limits_0^{2\pi } {{\bf{F}}\left( {{\bf{r}}\left( t \right)} \right) \cdot {\bf{r'}}\left( t \right)} \,dt = \int\limits_0^{2\pi } {\left( { - \sqrt 3 \cos t\sin t + \sqrt 3 \cos t\sin t} \right)} \,dt = \int\limits_0^{2\pi } {0dt = 0} \)■