Криволинейный интеграл второго рода
5. Формула Грина
Формула Грина связывает интеграл второго рода по замкнутой кривой с двойным интегралом по области, ограниченной этой кривой.
Вспомним определение области, правильной в направлении оси \(Oy\):
1) область \(D\), ограничена снизу кривой \(y = {\varphi _1}(x)\), сверху \(y = {\varphi _2}(x)\;({\varphi _1}(x) \le {\varphi _2}(x))\) и, возможно, отрезками прямых \(x = a\), \(x = b\) \(\left( {a < b} \right)\), где \({\varphi _1}(x)\) и \({\varphi _2}(x)\) непрерывны на \([a, b]\)
2) любая прямая, параллельная координатной оси \(Oy\) и проходящая через внутреннюю точку области \(D\), пересекает границы области в двух точках.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1
Пусть \(D\) – область, правильная в направлении оси \(Oy\), \(L\) – граница области \(D\) и направление обхода \(L\) выбрано так, что область \(D\) остается слева (Рисунок 6). Пусть \(P\left( {x,y} \right),\;\frac{{\partial P}}{{\partial y}}\left( {x,y} \right)\) непрерывны в области \(D\), тогда
\(\oint\limits_L {Pdx} = - \int\limits_G {\int {\frac{{\partial P}}{{\partial y}}dxdy} } \) \((14)\)
Рисунок 6
Областью, правильной в направлении оси \(Ox\), мы называли область \(D\), ограниченную слева кривой \(x = {\psi _1}(y)\), справа \(x = {\psi _2}(y)\;\) и, возможно, отрезками прямых \(y = c\), \(y = d\), \(\left( {c < d} \right)\), где \({\psi _1}(y)\) и \({\psi _2}(y)\) непрерывны на \(\left[ {c,d} \right]\), причём любая прямая, параллельная координатной оси \(Ox\) и проходящая через внутреннюю точку области \(D\), пересекает границы области в двух точках.
Справедлива теорема.
Теорема 2
Пусть \(D\) – область, правильная в направлении оси \(Ox\), \(L\) – граница \(D\), а направление обхода \(L\) выбрано так, что \(D\) остается слева. (Рисунок 7). Пусть \(Q\left( {x,y} \right),\;\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\left( {x,y} \right)\) непрерывны в области \(D\). Тогда
\(\oint\limits_L {Qdy} = \int\limits_D {\int {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}dxdy} } \) \((15)\)
Рисунок 7
Из теорем 1 и 2 вытекает следствие.
Следствие 1
Если область \(D\) можно представить как \(D = \left\{ {\left. {\left. {\left( {x,y} \right)} \right|a \le x \le b,{\varphi _1}\left( x \right) \le y \le {\varphi _2}\left( x \right)} \right\}} \right.\), где \({\varphi _1}\left( x \right)\), \({\varphi _2}\left( x \right)\) – непрерывно дифференцируемые на \(\left[ {a;b} \right]\) функции, так и в виде \(D = \left\{ {\left. {\left. {\left( {x,y} \right)} \right|c \le y \le d,{\psi _1}\left( y \right) \le x \le {\psi _2}\left( y \right)} \right\}} \right.\), где \({\psi _1}\left( y \right)\), \({\psi _2}\left( y \right)\) – непрерывно дифференцируемые на \(\left[ {c;d} \right]\) функции, \(L\) — граница \(D\), причем при ее обходе область \(D\) остается слева, то
\(\oint\limits_L {Pdx + Qdy} = \int\limits_D {\int {\left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}}} \right)dxdy} } \) \((16)\)
Формулу (16) называют формулой Грина.
Пример 5
Используя формулу Грина, вычислить интеграл
\(I = \oint\limits_C {\left( {3y - {e^{\sin x}}} \right)} dx + \left( {7x + \sqrt {{y^4} + 1} } \right)\,dy\),
где \(C\) – окружность \({x^2} + {y^2} = 9\) с направлением обхода против часовой стрелки.
\(P\left( {x,y} \right) = 3y - {e^{\sin x}}\), \(Q\left( {x,y} \right) = 7x + \sqrt {{y^4} + 1} \).
\(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = {\left( {3y - {e^{\sin x}}} \right)_y}^\prime = 3\), \(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = {\left( {7x + \sqrt {{y^4} + 1} } \right)_x}^\prime = 7\), \(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}} = 7 - 3 = 4\).
\(I = \int {\int\limits_D {4\,dxdy} } = 4\int {\int\limits_D {dxdy} } = 4 \cdot {S_{r}} = 4 \cdot \pi \cdot {3^2} = 36\pi \).
При вычислении интеграла была использована формула площади круга \({x^2} + {y^2} = 9\).■
Расширенная версия условий применения формулы Грина приведена в следствии 2.
Следствие 2
Если область \(D\) можно разбить кривыми на конечное число областей, удовлетворяющих условиям следствия 1 и \(L\) – граница \(D\) причем направление обхода выбрано так, что область \(D\) остается слева, и \(P\) и \(Q\) удовлетворяют перечисленным выше условиям, то \(\oint\limits_L {Pdx + Qdy} = \int\limits_D {\int {\left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}}} \right)dxdy} } \).
Полагая в формуле (16) \(P = - y,\;Q = x\), получаем
\(\oint\limits_L { - ydx + xdy} = \int\limits_D {\int {2dxdy} } = 2\int\limits_D {\int {dxdy} } = 2{S_D}\) ,
где \({S_D}\) – площадь области \(D\). Отсюда
\({S_D} = \frac{1}{2}\oint\limits_L { - ydx + xdy} \) \((17)\)
Пример 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой (Рисунок 8)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a\,{{\cos }^3}t}\\{y = a\,{{\sin }^3}t}\end{array}} \right.,\;\;\;\;\;\;0 \le t \le 2\pi \).
рисунок 8
\(x' = - 3a{\cos ^2}t \cdot \sin t\), \(y' = 3a \cdot {\sin ^2}t \cdot \cos t\).
Искомая площадь равна
\({S_D} = \frac{1}{2}\oint\limits_L { - ydx + xdy} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi } {\left( { - a\,{{\sin }^3}t \cdot \left( { - 3a{{\cos }^2}t \cdot \sin t} \right) + } \right.} \)
\(\left. { + a\,{{\cos }^3}t \cdot 3a \cdot {{\sin }^2}t \cdot \cos t} \right)dt = \frac{3}{2}{a^2}\int\limits_0^{2\pi } {{{\left( {\sin t \cdot \cos t} \right)}^2}} dt = \frac{3}{8}{a^2}\int\limits_0^{2\pi } {{{\left( {\sin 2t} \right)}^2}} dt = \)
\( = \frac{3}{{16}}{a^2}\int\limits_0^{2\pi } {\left( {1 - \cos 4t} \right)} \,dt = \frac{3}{{16}}{a^2}\left. {\left( {t - \frac{1}{4}\sin 4t} \right)} \right|_0^{2\pi } = \frac{{3{a^2}\pi }}{8}\)■
Пусть \(D\) область. Эта область называется односвязной, если вместе с любым замкнутым контуром \(L\), лежащим в \(D\), ограничиваемая контуром \(L\) область \(G\) также целиком содержится в \(D\).
Примером односвязной области является круг (Рисунок 9).
Примером неодносвязной области – круг с выколотой точкой (Рисунок 10). \(G\) содержит выколотую точку, а \(D\) нет, следовательно, \(G\) не входит в \(D\) целиком.
Рисунок 9
Рисунок 10
Если в некоторой односвязной области \(D\) выполнены условия теорем 1, 2 и следствия 1, то равносильны приведённые ниже утверждения.
1. \(\oint\limits_L {Pdx + Qdy} = 0\), если \(L\) – любой замкнутый контуром, лежащий в \(D\).
2. Интеграл \(\int\limits_{{L_{AB}}} {Pdx + Qdy} \) не зависит от формы пути интегрирования, соединяющего точки \(А\) и \(B\) и лежащего в области \(D\).
3. \(P\left( {x,y} \right)dx + Q\left( {x,y} \right)dy = du\left( {x,y} \right)\), где \(du\left( {x,y} \right)\) – полный дифференциал функции \(u\left( {x,y} \right)\)
4. Во всех точках области \(D\) справедливо равенство \(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \frac{{\partial P}}{{\partial y}}\).
С помощью теории криволинейных интегралов второго рода можно решить следующую задачу.
«Известно дифференциальное выражение \(P\left( {x,y} \right)dx + Q\left( {x,y} \right)dy\), которое является полным дифференциалом некоторой функции \(u\left( {x,y} \right)\). Требуется найти эту функцию».
Решение данной задачи определяется формулой
\(u\left( {x,y} \right) = \int\limits_{{x_0}}^x {P\left( {x,{y_0}} \right)dx + } \int\limits_{{y_0}}^y {Q\left( {x,y} \right)dy + } C\) \((18)\)
или
\(u\left( {x,y} \right) = \int\limits_{{x_0}}^x {P\left( {x,y} \right)dx + } \int\limits_{{y_0}}^y {Q\left( {{x_0},y} \right)dy + } C\), \((19)\)
где точки \({M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) и \(M\left( {x,y} \right)\) принадлежат области \(D\), в которых функции \(P\left( {x,y} \right)\), \(Q\left( {x,y} \right)\) и их частные производные являются непрерывными функциями, \(С\) – произвольная постоянная.
Пример 7
Показать, что дифференциальное выражение
\(\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{x} + \ln y} \right)dx + \frac{x}{y}dy\)
является полным дифференциалом некоторой функции \(u\left( {x,y} \right)\) и найти эту функцию.
Так как
\(P\left( {x,y} \right) = \frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{x} + \ln y\), \(Q\left( {x,y} \right) = \frac{x}{y}\)
то \(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{1}{y}\) и \(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \frac{1}{y}\). Значит во всех точках плоскости \(Oxy\), исключая точки, лежащие на оси координат, данное дифференциальное выражение является полным дифференциалом некоторой функции \(u\left( {x,y} \right)\). Воспользуемся формулой (18) или (19).
Пусть \({M_0}\left( {1,1} \right)\), тогда по формуле (18) имеем:
\(u\left( {x,y} \right) = \int\limits_1^x {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{x}} \right)dx + } \int\limits_1^y {\frac{x}{y}dy + } C = \left. {\left( {{\mathop{\rm arctg}\nolimits} x - \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^x + \left. {x \cdot \ln \left| y \right|} \right|_1^y + C = \)
\( = {\mathop{\rm arctg}\nolimits} x - \ln \left| x \right| + x \cdot \ln \left| y \right| + C\),
где \(C\) – произвольная постоянная.
Если векторное поле \({\bf{F}} = \left( {P,Q} \right)\) обладает свойством \(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \frac{{\partial P}}{{\partial y}}\) в односвязной области \(D\), то говорят, что \({\bf{F}}\) – потенциальное поле и найденная функция \(u\left( {x,y} \right)\) такая, что \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = P,\;\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = Q\), т.е. \({\bf{F}} = \nabla u\), называется потенциалом поля \({\bf{F}}\).
В потенциальном поле работа вдоль любого замкнутого контура равна \(0\).
Вообще, если \(L\) соединяет \(A\left( {x\left( {{t_0}} \right),y\left( {{t_0}} \right)} \right)\) и \(B\left( {x\left( {{t_1}} \right),y\left( {{t_1}} \right)} \right)\), то работа \({\bf{F}}\) вдоль \(L\) равна
\(\int\limits_{{L_{AB}}} {{\bf{F}} \cdot d{\bf{r}}} = \int\limits_{{L_{AB}}} {Pdx + Qdy} = \int\limits_{{t_0}}^{{t_1}} {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\left( {x\left( t \right),y\left( t \right)} \right)x'\left( t \right)dt + } \frac{{\partial u}}{{\partial y}}\left( {x\left( t \right),y\left( t \right)} \right)y'\left( t \right)dt = \int\limits_{{t_0}}^{{t_1}} {\frac{{du\left( {x\left( t \right),y\left( t \right)} \right)}}{{dt}}dt} \)
\( = u\left( {x\left( {{t_1}} \right),y\left( {{t_1}} \right)} \right) - u\left( {x\left( {{t_0}} \right),y\left( {{t_0}} \right)} \right) = u\left( B \right) - u\left( A \right)\).
Таким образом, работа вектора поля в потенциальном поле равна разности потенциалов.