Криволинейный интеграл второго рода

Говорят, что на области \(D \subset {\mathbb{R}^3}\) задано непрерывное векторное поле \({\bf{F}} = \left( {P,Q,R} \right)\), если каждой точке \(\left( {x,y,z} \right) \in D\) сопоставлен вектор \({\bf{F}} = \left( {P\left( {x,y,z} \right),Q\left( {x,y,z} \right),R\left( {x,y,z} \right)} \right)\), где \(P,\;Q,R\) – непрерывные функции.

При перемещении материальной точки вдоль гладкой кривой \(L\) поле совершает некоторую работу \(A\). Разобьем кривую \(L\) на \(n\) дуг \((\Delta {\ell _1})\), \((\Delta {\ell _2})\), …, \((\Delta {\ell _n})\) точками \(A = {C_0},\;{C_1},\;{C_2}, \ldots {C_n} = B\). Обозначим \(\Delta {{\bf{l}}_k}\) вектор \(\overline {{C_{k - 1}}C{}_k} \).

\(\Delta {{\bf{l}}_k} = \overline {{C_{k - 1}}C{}_k} = \Delta {x_k}{\bf{i}} + \Delta {y_k}{\bf{j}} + \Delta {z_k}{\bf{k}},\;k = \overline {1,n} \)

На каждой дуге \((\Delta {\ell _k})\) выберем произвольную точку \({M_k}(x_k^*;\,\,y_k^*;\,\,z_k^*)\). Пусть \({\bf{T}}_k^0\) – единичный вектор касательной к кривой \((\ell )\) в точке \({M_k}\).

Тогда работа силы \(\Delta {A_k}\) поля на участке \(\left( {\Delta {\ell _k}} \right)\) приближенно равна скалярному произведению вектора силы в точке \({M_k}\) на единичный вектор касательной \({\bf{T}}_k^0\) в точке \({M_k}\), умноженный на длину \(\Delta {\ell _k}\) дуги \(\left( {\Delta {\ell _k}} \right)\) (Рисунок 1).

\(\Delta {A_k} \approx {\bf{F}}\left( {{M_k}} \right) \cdot \left( {\Delta {\ell _k}{{\bf{T}}^0}\left( {{M_k}} \right)} \right) = \left( {{\bf{F}}\left( {{M_k}} \right) \cdot {{\bf{T}}^0}\left( {{M_k}} \right)} \right)\Delta {\ell _k}\)

Работа поля \({\bf{F}}\) по всей кривой \(L\) приближенно выразится суммой

\(A = \sum\limits_{k\, = \,1}^n {{A_k}} \approx \sum\limits_{k = \,1}^n {\left( {{\bf{F}}\left( {{M_k}} \right) \cdot {{\bf{T}}^0}\left( {{M_k}} \right)} \right)\Delta {\ell _k}} \)                      \((1)\)

Устремив \(\lambda \) – наибольшую из длин \(\Delta {\ell _k}\) к нулю, в пределе получим всю работу силового поля \({\bf{F}}\) по перемещению частицы вдоль дуги \(L\) от начальной точки \(A\) до конечной точки \(B\)

\(A = \mathop {\lim }\limits_{\lambda = \mathop {\max }\limits_{1 \le k \le n} \Delta {\ell _k} \to 0} \sum\limits_{k = \,1}^n {\left( {{\bf{F}}\left( {{M_k}} \right) \cdot {{\bf{T}}^0}\left( {{M_k}} \right)} \right)\Delta {\ell _k}} = \int\limits_L {{\bf{F}} \cdot {{\bf{T}}^0}dl} \)                             \((2)\)