Лекция №39. РПТ обработки сигналов цифровых стандартов. Цифровые виды модуляции. Функциональные узлы

1. 39.1 Цифровые виды модуляции
2. 39.2 Расчёт сигнального созвездия QAM
   1. 39.2.1 Расчёт средней энергии сигналов созвездия M-QAM
   2. 39.2.2 Расчёт вероятности ошибки при передаче двоичных сигналов в канале с аддитивным белым гауссовским шумом
   3. 39.2.3 Расчёт вероятности ошибки для 2-QAM
   4. 39.2.4 Расчёт вероятности ошибки для 16-QAM
3. 39.3 Цифровые демодуляторы
4. 39.4 Цифровые синтезаторы частоты
5. 39.5 Цифровая автоматическая регулировка усиления
6. 39.6 Микропроцессорное управление РПрУ
7. 39.7 Цифровые фильтры

39.1 Цифровые виды модуляции

Существуют три основных вида цифровой модуляции: амплитудная манипуляция, фазовая манипуляция и частотная манипуляция (рис. 39.1).

Рис. 39.1

Передаваемый сигнал можно представить в следующем виде:

$\begin{array}{c}s(t)=\cos \left(2\mathrm{\pi }{f}_{c}t+{\mathrm{\theta }}_k\right)=\cos {\mathrm{\theta }}_k\cdot \cos (2\mathrm{\pi }{f}_{c}t)-\sin {\mathrm{\theta }}_k\cdot \sin (2\mathrm{\pi }{f}_{c}t)=\\ =a_k\cos (2\mathrm{\pi }{f}_{c}t)-b_k\sin (2\mathrm{\pi }{f}_{c}t)=\mathrm{Re}\left[\left(a_k+j{b}_k\right)e^{j{\mathrm{\omega }}_{c}t}\right],\end{array}$

т.е. сигнал представляет собой несущее колебание $e^{j2\mathrm{\pi }{f}_{c}t}$ с амплитудой, определяемой комплексными модуляционными коэффициентами ${с}_k=a_k+j{b}_k$.

Этот же сигнал также может быть представлен в комплексном виде:

Z = I + j Q, или

$Z=A_m\cdot e^{j\left(2\mathrm{\pi }{f}_{c}t+{\mathrm{\theta }}_k\right)}$,

где: $A_m=\sqrt{Q^2{+I}^2}$ — амплитуда модулированного сигнала; θ_k=arctg(Q/I) — фаза модулированного сигнала; I_m = a_k, Q_m = b_k.

Таким образом, передаваемая информация может кодироваться одновременными изменениями амплитуды и фазы несущего колебания. Это происходит при использовании квадратурной амплитудной модуляции (QAM - Quadrature Amplitude Modulation).

Рис. 39.2 - Принцип формирования сигнала QAM

На рис. 39.2 представлен принцип формирования результирующего колебания Z_m путём суммирования вектора квадратурной составляющей Q_m с вектором синфазной составляющей I_m.

Поскольку в каждом канале осуществляется амплитудная манипуляция, этот вид модуляции называют квадратурной манипуляцией с изменением амплитуды (Quadrature Amplitude Shift Keying, QASK)

Точки расположения окончаний векторов модулированного колебания образуют прямоугольную сетку на фазовой плоскости действительной — Re{Z} и мнимой составляющей вектора модулированного сигнала — Im{Z}. Число узлов этой сетки определяется типом используемого алгоритма QAM. Схему расположения узлов на фазовой плоскости модулированного QAM колебания принято называть сигнальным созвездием (constellation).

Для указания типа алгоритма QAM принята следующая схема обозначения: QAM — <число>. Число обычно представляет собой значение вида 2^N и соответствует количеству узлов на фазовой сетке, а также максимальному количеству различных значений вектора модулированного сигнала. Значение N соответствует числу битов входной последовательности данных, формирующих один передаваемый символ.

На рис. 39.3 приведена упрощённая структурная схема формирователя QAM-модулированного сигнала. На первом этапе преобразования последовательность битов D{d₀, d₁,…d_k}, которая поступает от источника сигнала, преобразуется в последовательность двумерных модуляционных символов M{m₀, m₁,…m_j}. Число битов в этом символе равно значению N (для алгоритма QAM-16 N=log₂16=4).

Рис. 39.3 - Структурная схема формирователя QAM модулированного сигнала

Формирователь кодовых символов преобразует двумерный кодовый символ m_j в пару кодовых символов a_j и b_j. Для алгоритма QAM-16 допустимые значения a_j и b_j принадлежат множеству {1, 3, —1, —3} и определяют соответственно значения реальной и мнимой координаты вектора модулированного колебания. Сформированные значения А{a_j} и B{b_j} используются для амплитудной модуляции синфазной I и квадратурной Q составляющих несущего колебания (In phase — I, Quadrature — Q). На последнем этапе преобразования выполняется суммирование этих колебаний и формирование результирующего сигнала Z.

На рис. 39.4 представлено расположение векторов модулированного колебания — созвездие для алгоритма QAM—16. Цифрами отмечены значения модуляционных символов, которым соответствуют указанные точки на фазовой плоскости модулированного колебания {m₃, m₂, m₁, m₀}.

а

б

Рис. 39.4 - Созвездие QAM-16

Для алгоритма QAM-16 пара {m₃, m₂} определяет номер квадранта фазовой плоскости или знаки реальной и мнимой координаты вектора модулированного колебания:

00 Sign(Re{Z})= 1, Sign(Im{Z})= 1,

10 Sign(Re{Z})= 1, Sign(Im{Z})= –1,

01 Sign(Re{Z})= –1, Sign(Im{Z})= 1,

11 Sign(Re{Z})= –1, Sign(Im{Z})= –1.

Таблица 39.1

Для этого алгоритма пара {m₁, m₀} определяет значения амплитуды реальной и мнимой координаты вектора модулированного колебания соответственно. В таблице 39.1 представлены значения кодовых символов a и b, которые соответствуют значениям младших разрядов модуляционного символа {m₁, m₀}. Векторам Z=1+j и Z=1+3j соответствуют кодовые символы {0, 0} и {0, 1}.

Преобразование модуляционных символов в кодовые символы выполняется с применением алгоритмов Грея для помехоустойчивого кодирования данных (рис. 39.4,б). Векторам модулированного колебания, которые находятся близко один от другого на фазовой плоскости, ставятся в соответствие значения кодовых символов, которые отличаются значениями только одного бита.

В настоящее время наибольшее распространение получили несколько вариантов QAM: QAM-4, QAM-16, QAM-32, QAM-64, QAM-128 и QAM-256. QAM-4 кодирует информационный сигнал изменением фазы несущего колебания с шагом π/2. Амплитуда сигнала при этом остаётся постоянной. Этот алгоритм модуляции имеет название QPSK (Quadrature Phase Shift Keying, Квадратурная фазовая манипуляция).

Примеры созвездий для QAM-4 и QAM-64 изображены на рис. 39.5.

Рис. 39.5

Структура модулятора и демодулятора QAM-16 представлена на рис. 39.6.

а

б

Рис. 39.6

Наиболее распространенным способом реализации 16QAM является так называемый способ модуляции наложением (SPM — Supersposed Modulation). Входной поток данных вначале подвергается необходимой цифровой обработке в процессоре данных: выделению тактовой частоты, скремблированию, дифференциальному кодированию, последовательно-параллельному преобразованию. Затем поток данных разделяется на 4 подпотока. В схеме, реализующей данный способ, используются два одинаковых модулятора QPSK.

Изучение фундаментальных понятий в сфере коммуникационных систем связано с программным обеспечением в виде LabVIEW (от англ. Laboratory Virtual Instrumentation Engineering Workbench) — среды разработки и платформы для выполнения программ, созданных на графическом языке программирования «G» компании National Instruments (США). LabVIEW используется в системах сбора и обработки данных, а также для управления техническими объектами и технологическими процессами. Компания уделяет много внимания обучению специалистов. Для образовательных целей компанией разработан комплект обучающих интерактивных программ для изучения различных типов сигналов с цифровой модуляцией в условиях помех. Вся необходимая информация размещена на сайте компании National Instruments.

Структура демодулятора 4-PSK или QPSK на выходе вместо АЦП содержит триггеры Шмидта (рис. 39.7).

Рис. 39.7

Ширину частотной полосы, требуемой для сигнала QAM, можно оценить, исходя из скорости передачи данных:

$R=k/T$,

где k число бит информации на один передаваемый символ, 1/T – символьная скорость, Т – период повторения тактовых импульсов.

Тогда ширина частотной полосы равна

$W\approx {\displaystyle \frac{1}{T}}={\displaystyle \frac{R}{k}}={\displaystyle \frac{R}{{\log }_{2}M}}$,

где М – число символов.

Спектральная эффективность QAM равна

${\displaystyle \frac{R}{W}}\approx {\log }_{2}M$

и для различных значений М приведена в таблице 39.2

Таблица 39.2

При фазовой манипуляции созвездие располагается по окружности. На рис. 39.8 представлены созвездия для M-PSK c M=2, 4, 8 и 16.

Рис. 39.8

Ниже в анимации поясняется как с увеличением числа битов входной последовательности усложняется сигнальное созвездие на фазовой плоскости.

Формирование сигнального созвездия QAM. Для визуализации нажимать последовательно кнопку "Анимация"

При одновременной смене символов в обоих каналах модулятора (с 10 на 01, или с 00 на 11) в сигнале 4-PSK происходит скачок фазы на 180°. Такие изменения сигнала нежелательны, поскольку приводят к увеличению энергии боковых полос и помех в канале связи.

Четырёхфазная ФМ со сдвигом (Offset QPSK, OQPSK) позволяет избежать скачков фазы на 180° и, следовательно, глубокой модуляции огибающей. Формирование сигнала в квадратурной схеме происходит так же, как и в модуляторе ФМ-4, за исключением того, что манипуляционные элементы информационной последовательности смещены во времени на длительность одного такта. Изменение фазы при таком смещении модулирующих потоков определяется лишь одним элементом последовательности, а не двумя, как при ФМ-4. В результате скачки фазы на 180° отсутствуют, так как каждый элемент последовательности, поступающий на вход модулятора синфазного или квадратурного канала, может вызвать изменение фазы на 0°, +90° или –90°.

В методе дифференциальной квадратурной фазовой модуляции (Differential Quadrature Phase Shift Keying, DQPSK) все импульсы входной информационной последовательности разбиваются на пары — на 2-битовые символы. При переходе от одного 2-х битового символа к другому 2-х битовому символу начальная фаза сигнала изменяется на величину ∆φ, которая определяется в соответствии с табл. 39.3.

Таблица 39.3

Фазовая диаграмма DQPSK, соответствующая этому методу, представлена на рис. 39.9.

Рис. 39.9

Эта фазовая диаграмма состоит фактически из двух диаграмм обычной квадратурной фазовой манипуляции: фазовые состояния одной из них помечены значком ⊕, а другой — значком ⊗, и диаграммы сдвинуты одна относительно другой на угол π/4. При переходе от одного символа к другому происходит изменение фазы от одного из состояний первой диаграммы к одному из состояний второй, а при переходе к следующему символу — возврат к предыдущей диаграмме, но, возможно, не к прежнему фазовому состоянию.

Дифференциальное кодирование фазы осуществляется формированием амплитуд I_k, Q_k квадратурных составляющих очередного символа в соответствии с алгоритмом:

$\begin{array}{c}{I}_k=\cos ({\mathrm{\phi }}_k)=\cos ({\mathrm{\phi }}_{k-1}+\mathrm{\Delta }{\mathrm{\phi }}_k)=\\ =\cos {\mathrm{\phi }}_{k-1}\cos \mathrm{\Delta }{\mathrm{\phi }}_k-\sin {\mathrm{\phi }}_{k-1}\sin \mathrm{\Delta }{\mathrm{\phi }}_k=\\ =I_{k-1}\cos \mathrm{\Delta }{\mathrm{\phi }}_k-Q_{k-1}\sin \mathrm{\Delta }{\mathrm{\phi }}_k;\\ Q_k=\sin {\mathrm{\phi }}_k=\sin ({\mathrm{\phi }}_{k-1}+\mathrm{\Delta }{\mathrm{\phi }}_k)=\\ =\sin {\mathrm{\phi }}_{k-1}\cos \mathrm{\Delta }{\mathrm{\phi }}_k-\cos {\mathrm{\phi }}_{k-1}\sin \mathrm{\Delta }{\mathrm{\phi }}_k=\\ =Q_{k-1}\cos \mathrm{\Delta }{\mathrm{\phi }}_k-I_{k-1}\sin \mathrm{\Delta }{\mathrm{\phi }}_k;\end{array}$

то есть зависит от предыдущих значений синфазной и квадратурной составляющих и приращения фазы ∆φ_k, значение которого определяется таблицей переходов.

Сумма модулированных квадратурных составляющих даёт окончательный выходной сигнал

$\begin{array}{c}{I}_k\cos ({\mathrm{\omega }}_{0}t)-Q_k\sin ({\mathrm{\omega }}_{0}t)=\cos {\mathrm{\phi }}_k\cos {\mathrm{\omega }}_{0}t-\\ -\sin {\mathrm{\phi }}_k\sin {\mathrm{\omega }}_{0}t=\cos ({\mathrm{\omega }}_{0}t+{\mathrm{\phi }}_k)=s(t).\end{array}$

При M-уровневой амплитудной модуляции (M-PAM – Pulse Amplitude Modulation) созвездие вырождается в прямую линию (рис. 39.10).

Рис. 39.10

Одним из методов модуляции в системах цифрового вещания является многоуровневая амплитудная модуляция с частично подавленной нижней боковой полосой (АМ-ЧПБП, более известная как 8- и 16- VSB –Vestigial Side Band).

Модулирующий сигнал представляет собой 8- или 16-уровневые импульсы, сглаженные формирующим фильтром. Протяженность нижнего и верхнего срезов спектра составляет 620 кГц при полной ширине спектра 6 МГц.

Модуляция 8-VSB предназначена для применения в наземном цифровом телевещании, a 16-VSB- для кабельных распределительных сетей. Обе разновидности модуляции VSB имеют одномерные созвездия с различным числом точек, из которых только половина используется для передачи полезной информации, а другая половина - для корректирующего кодирования. Поэтому по скорости передачи полезной информации модуляция 8-(16-)VSB фактически соответствует 4-(8-)VSB без кодирования. Скорость передачи символов при всех вариантах VSB практически в 2 раза выше численного значения занимаемой полосы частот.

Алгоритм амплитудно-фазовой модуляции с подавлением несущей Carrier less Amplitude modulation / Phase modulation (CAP) является одним из наиболее широко используемых в настоящее время на цифровых абонентских линиях (Digital Subscriber Line - DSL) алгоритмов модуляции (рис. 39.11).

Рис. 39.11 - Формирование спектра CAP–модулированного сигнала

Алгоритм CAP представляет собой одну из разновидностей алгоритма QAM. В процессе обработки из спектра модулированного сигнала исключается составляющая, которая соответствует частоте несущего колебания QAM.

Алгоритм CAP в части формирования линейного кода практически ничем не отличается от классических алгоритмов гармонической амплитудной модуляции. Одна из возможных функциональных схем формирования сигнала, модулированного в соответствии с принципами алгоритма CAP, представлена на рис. 39.12.

Рис. 39.12 - Функциональная схема формирования САР-модулированного сигнала

В данном случае для подавления гармоники несущего колебания используются синфазный и квадратурный фильтры. Для адекватного восстановления сформированного таким образом сигнала на приёмной стороне должны быть выполнены соответствующие процедуры по восстановлению несущего колебания.

После восстановления несущего колебания, приёмник, который функционирует в соответствии с алгоритмом CAP, восстанавливает собственно переданный сигнал, используя при этом те же алгоритмы, что и приёмник QAM–модулированного колебания. Известны следующие разновидности САР: CAP-4, CAP-8, CAP-16, CAP-32, CAP-64, CAP-128, CAP-256.

Применение многопозиционной QAM в чистом виде сопряжено с проблемой недостаточной помехоустойчивости (рис. 39.13).

Рис. 39.13

Поэтому во всех современных высокоскоростных протоколах QAM используется совместно с решетчатым кодированием — специальным видом сверточного кодирования. В результате появился новый способ модуляции, называемый треллис-модуляцией (ТСМ — Trellis Coded Modulation).

Схема модуляции TCM сочетает в себе кодирование с помощью сверточных кодов и специальные сигнальные конструкции. Эти сигнальные конструкции основаны на разбиении сигнального созвездия на подмножества с наибольшим эвклидовым расстоянием между сигналами в подмножестве. Общая структура TCM кодера изображена на рис. 39.14.

Рис. 39.14

Процедура разбиения на подмножества показана на рис. 39.15.

Рис. 39.15

Выбранная определённым образом комбинация конкретной QAM помехоустойчивого кода в отечественной технической литературе носит название сигнально-кодовой конструкции (СКК). СКК позволяют повысить помехозащищенность передачи информации наряду со снижением требований к отношению сигнал/шум в канале на 3…6 дБ. При этом число сигнальных точек увеличивается вдвое за счёт добавления к информационным битам одного избыточного, образованного путём сверточного кодирования (рис. 39.16). Расширенный таким образом блок битов подвергается QAM.

Рис. 39.16 - Схема сверточного кодера

В процессе демодуляции производится декодирование принятого сигнала по алгоритму Витерби. Именно этот алгоритм за счёт использования введенной избыточности и знания предыстории процесса приёма позволяет по критерию максимального правдоподобия выбрать из сигнального пространства наиболее достоверную эталонную точку.

Выбор способов модуляции и кодирования сводится к поиску такого заполнения сигнального пространства, при котором обеспечивается высокая скорость и высокая помехоустойчивость. Комбинирование различных ансамблей многопозиционных сигналов и помехоустойчивых кодов порождает множество вариантов сигнальных конструкций. Согласованные определённым образом варианты, обеспечивающие улучшение энергетической и частотной эффективности, и являются сигнально-кодовыми конструкциями. Задача поиска наилучшей СКК является одной из наиболее сложных задач теории связи. Современные высокоскоростные протоколы модуляции (V.32, V.32bis, V.34 и др.) предполагают обязательное применение сигнально-кодовых конструкций.

Все применяемые сегодня СКК используют сверточное кодирование. Типичный кодер, применяемый совместно с модулятором ФМ-8 представлен на рис. 39.16. Он является сверточным кодером с относительной скоростью кода, равной 2/3. Каждым двум информационным битам на входе кодер сопоставляет трёхсимвольные двоичные блоки на своем выходе, которые и поступают на модулятор ФМ-8.

39.2 Расчёт сигнального созвездия QAM

Сигналы квадратурной амплитудной модуляции КАМ (Quadrature Amplitude Modulation, QAM) имеют вид

$s_i(t)=s_{i1}{\mathrm{\phi }}_1(t)+s_{i2}{\mathrm{\phi }}_2(t),$

где φ₁(t), φ₂(t) - две ортонормированные функции, заданные на интервале [0,T] и определяющие форму сигнала, i =0,1,…, q–1.

Два сигнала называются ортогональными (orthogonal), если имеют нулевое скалярное произведение. Система ортогональных функций после нормировки, т.е. деления всех функций на их норму превращается в ортонормированную. Норма сигналов в линейном пространстве является аналогом длины векторов. При спектральном анализе сигналов в качестве ортонормированной используют синус-косинусной систему гармонических функций.

Величины S_i1 и S_i2 для сигналов КАМ принимают дискретные значения равномерно расположенные в некотором конечном интервале. Они могут рассматриваться как амплитудные множители при функциях φ₁(t), φ₂(t), поэтому сигнал КАМ представляет собой сумму двух ортогональных АМ сигналов.

Будем считать, что q=2^m , где m - целое число; m может рассматриваться как число бит переносимых сигналом (при отсутствии кодирования). Положим для начала, что m=2k, k - целое число. Тогда $\sqrt{q}=2^k$ тоже целое. Поставим в соответствие номеру сигнала i , i= 0,1,…, q–1, пару целых i₁ и i₂: i₁, i₂ = 0,1,…, $\sqrt{q}-1$, по правилу $i=i_1\sqrt{q}+i_2$. Иначе говоря, i₁, i₂ - это цифры в $\sqrt{q}$ -ичном представлении числа i. Положим, что

$S_{i1}=A\left(1-{\displaystyle \frac{2i_1}{\sqrt{q}-1}}\right),S_{i2}=A\left(1-{\displaystyle \frac{2i_2}{\sqrt{q}-1}}\right),$

где A - максимальное абсолютное значение величин S_i1 и S_i2 . Очевидно, что значения величин S_i1 и S_i2 расположены с равномерным шагом в интервале [–A, A].

Для модуляции 16-QAM принимаем q=16. В соответствии с тем, что максимальный номера сигнала равен i_max=q–1, представим сигналы последовательностью чисел:

i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Рассчитываем пары чисел i₁ и i₂, удовлетворяющие условию $i=4i_1+i_2$ и принадлежащие диапазону 0,1,…, $\sqrt{q}-1$ = 0, 1, 2, 3:

i = 0: i₁ = 0; $i_2=i-4i_1$ = 0,

i = 1: i₁ = 0; $i_2=1-4\cdot 0=1$,

i = 2: i₁ = 0; $i_2=2-4\cdot 0=2$,

i = 3: i₁ = 0; $i_2=3-4\cdot 0=3$,

i = 4: i₁ = 1; $i_2=4-4\cdot 1=0$,

i = 5: i₁ = 1; $i_2=5-4\cdot 1=1$,

i = 6: i₁ = 1; $i_2=6-4\cdot 1=2$,

i = 7: i₁ = 1; $i_2=7-4\cdot 1=3$,

i = 8: i₁ = 2; $i_2=8-4\cdot 2=0$,

i = 9: i₁ = 2; $i_2=9-4\cdot 2=1$,

i = 10: i₁ = 2; $i_2=10-4\cdot 2=2$,

i = 11: i₁ = 2; $i_2=11-4\cdot 2=3$,

i = 12: i₁ = 3; $i_2=12-4\cdot 3=0$,

i = 13: i₁ = 3; $i_2=13-4\cdot 3=1$,

i = 14: i₁ = 3; $i_2=14-4\cdot 3=2$,

i = 15: i₁ = 3; $i_2=15-4\cdot 3=3$.

Рассчитываем значения квадратурных составляющих сигналов, приняв амплитуду $A=\sqrt{q}-1=\sqrt{16}-1=3$ :

i₁ =0 и i₂=0

$\begin{array}{l}{S}_{11}=\left(\sqrt{q}-1-2i_1\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 0\right)=\mathrm{3,}\\ S_{12}=\left(\sqrt{q}-1-2i_2\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 0\right)=\mathrm{3,}\end{array}$

i₁ =0 и i₂=1

$\begin{array}{l}{S}_{21}=\left(\sqrt{q}-1-2i_1\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 0\right)=\mathrm{3,}\\ S_{22}=\left(\sqrt{q}-1-2i_2\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 1\right)=\mathrm{1,}\end{array}$

i₁ =0 и i₂=2

$S_{31}=\left(\sqrt{q}-1-2i_1\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 0\right)=\mathrm{3,}$

$S_{32}=\left(\sqrt{q}-1-2i_2\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 2\right)=-\mathrm{1,}$

i₁ =0 и i₂=3

$\begin{array}{l}{S}_{41}=\left(\sqrt{q}-1-2i_1\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 0\right)=\mathrm{3,}\\ S_{42}=\left(\sqrt{q}-1-2i_2\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 3\right)=-\mathrm{3,}\end{array}$

i₁ =1 и i₂=0

$\begin{array}{l}{S}_{51}=\left(\sqrt{q}-1-2i_1\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 1\right)=\mathrm{1,}\\ S_{52}=\left(\sqrt{q}-1-2i_2\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 0\right)=\mathrm{3,}\end{array}$

i₁ =1 и i₂=1

$\begin{array}{l}{S}_{61}=\left(\sqrt{q}-1-2i_1\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 1\right)=\mathrm{1,}\\ S_{62}=\left(\sqrt{q}-1-2i_2\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 1\right)=\mathrm{1,}\end{array}$

i₁ =1 и i₂=2

$\begin{array}{l}{S}_{71}=\left(\sqrt{q}-1-2i_1\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 1\right)=\mathrm{1,}\\ S_{73}=\left(\sqrt{q}-1-2i_2\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 2\right)=-\mathrm{1,}\end{array}$

i₁ =1 и i₂=3

$\begin{array}{l}{S}_{81}=\left(\sqrt{q}-1-2i_1\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 1\right)=\mathrm{1,}\\ S_{82}=\left(\sqrt{q}-1-2i_2\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 3\right)=-\mathrm{3,}\end{array}$

i₁ =2 и i₂=0

$\begin{array}{l}{S}_{91}=\left(\sqrt{q}-1-2i_1\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 2\right)=-\mathrm{1,}\\ S_{92}=\left(\sqrt{q}-1-2i_2\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 0\right)=\mathrm{3,}\end{array}$

i₁ =2 и i₂=1

$\begin{array}{l}{S}_{101}=\left(\sqrt{q}-1-2i_1\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 2\right)=-\mathrm{1,}\\ S_{102}=\left(\sqrt{q}-1-2i_2\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 1\right)=\mathrm{1,}\end{array}$

i₁ =2 и i₂=2

$\begin{array}{l}{S}_{111}=\left(\sqrt{q}-1-2i_1\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 2\right)=-\mathrm{1,}\\ S_{112}=\left(\sqrt{q}-1-2i_2\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 2\right)=-\mathrm{1,}\end{array}$

i₁ =2 и i₂=3

$\begin{array}{l}{S}_{121}=\left(\sqrt{q}-1-2i_1\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 2\right)=-\mathrm{1,}\\ S_{122}=\left(\sqrt{q}-1-2i_2\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 3\right)=-\mathrm{3,}\end{array}$

i₁ =3 и i₂=0

$\begin{array}{l}{S}_{131}=\left(\sqrt{q}-1-2i_1\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 3\right)=-\mathrm{3,}\\ S_{132}=\left(\sqrt{q}-1-2i_2\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 0\right)=\mathrm{3,}\end{array}$

i₁ =3 и i₂=1

$S_{141}=\left(\sqrt{q}-1-2i_1\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 3\right)=-\mathrm{3,}$

$S_{142}=\left(\sqrt{q}-1-2i_2\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 1\right)=\mathrm{1,}$

i₁ =3 и i₂=2

$\begin{array}{l}{S}_{151}=\left(\sqrt{q}-1-2i_1\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 3\right)=-\mathrm{3,}\\ S_{152}=\left(\sqrt{q}-1-2i_2\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 2\right)=-\mathrm{1,}\end{array}$

i₁ =3 и i₂=3

$\begin{array}{l}{S}_{161}=\left(\sqrt{q}-1-2i_1\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 3\right)=-\mathrm{3,}\\ S_{162}=\left(\sqrt{q}-1-2i_2\right)=\left(\sqrt{16}-1-2\cdot 3\right)=-3.\end{array}$

Конструируем сигнальное созвездие (рис. 39.17)

Рис. 39.17– Созвездие 16QAM

39.2.1 Расчёт средней энергии сигналов созвездия M-QAM

Средняя энергия сигналов созвездия определяется в соответствии с выражением

$\overline{E}={\displaystyle \frac{A^2}{q}}\mathrm{\sum }_{i=0}^{q-1}{E}_i={\displaystyle \frac{A^2}{q}}\mathrm{\sum }_{i_1=0}^{\sqrt{q}-1}\mathrm{\sum }_{i_2=0}^{\sqrt{q}-1}\left[{\left(1-{\displaystyle \frac{2i_1}{\sqrt{q}-1}}\right)}^2+{\left(1-{\displaystyle \frac{2i_2}{\sqrt{q}-1}}\right)}^2\right]$

$\begin{array}{c}={\displaystyle \frac{A^2}{q}}\mathrm{\sum }_{i_1=0}^{\sqrt{q}-1}\mathrm{\sum }_{i_2=0}^{\sqrt{q}-1}[\left(1-{\displaystyle \frac{4i_1}{\sqrt{q}-1}}+{\displaystyle \frac{4i_1^2}{{(\sqrt{q}-1)}^2}}\right)+\\ +\left(1-{\displaystyle \frac{4i_2}{\sqrt{q}-1}}+{\displaystyle \frac{4i_2^2}{{(\sqrt{q}-1)}^2}}\right)]=\end{array}$

$\begin{array}{c}={\displaystyle \frac{A^2}{q}}\mathrm{\sum }_{i_1=0}^{\sqrt{q}-1}[\mathrm{\sum }_{i_2=0}^{\sqrt{q}-1}1-\mathrm{\sum }_{i_2=0}^{\sqrt{q}-1}{\displaystyle \frac{4i_1}{\sqrt{q}-1}}+\mathrm{\sum }_{i_2=0}^{\sqrt{q}-1}{\displaystyle \frac{4i_1^2}{{(\sqrt{q}-1)}^2}}+\\ +\mathrm{\sum }_{i_2=0}^{\sqrt{q}-1}1-\mathrm{\sum }_{i_2=0}^{\sqrt{q}-1}{\displaystyle \frac{4i_2}{\sqrt{q}-1}}+\mathrm{\sum }_{i_2=0}^{\sqrt{q}-1}{\displaystyle \frac{4i_2^2}{{(\sqrt{q}-1)}^2}}]=\end{array}$

$\begin{array}{c}={\displaystyle \frac{A^2}{q}}\mathrm{\sum }_{i_1=0}^{\sqrt{q}-1}[2\sqrt{q}-{\displaystyle \frac{4}{\sqrt{q}-1}}\mathrm{\sum }_{i_2=0}^{\sqrt{q}-1}(i_1+i_2)+\\ +{\displaystyle \frac{4}{{(\sqrt{q}-1)}^2}}\mathrm{\sum }_{i_2=0}^{\sqrt{q}-1}(i_1^2+i_2^2)]=\end{array}$

$\begin{array}{c}={\displaystyle \frac{A^2}{q}}\mathrm{\sum }_{i_1=0}^{\sqrt{q}-1}[2\sqrt{q}-{\displaystyle \frac{4\sqrt{q}{i}_1}{\sqrt{q}-1}}-{\displaystyle \frac{4}{\sqrt{q}-1}}\mathrm{\sum }_{i_2=0}^{\sqrt{q}-1}{i}_2+\\ +{\displaystyle \frac{4\sqrt{q}{i}_1^2}{{(\sqrt{q}-1)}^2}}+{\displaystyle \frac{4}{{(\sqrt{q}-1)}^2}}\mathrm{\sum }_{i_2=0}^{\sqrt{q}-1}{i}_2^2].\end{array}$

Используя тождества

$\mathrm{\sum }_{i=0}^{k}i={\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}$

и $\mathrm{\sum }_{i=0}^k{i}^2={\displaystyle \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}}$

получаем

$\begin{array}{c}\overline{E}={\displaystyle \frac{A^2}{q}}\mathrm{\sum }_{i_1=0}^{\sqrt{q}-1}[2\sqrt{q}-{\displaystyle \frac{4\sqrt{q}{i}_1}{\sqrt{q}-1}}-{\displaystyle \frac{4\sqrt{q}(\sqrt{q}-1)}{2(\sqrt{q}-1)}}+\\ +{\displaystyle \frac{4\sqrt{q}{i}_1^2}{{(\sqrt{q}-1)}^2}}+{\displaystyle \frac{4\sqrt{q}(\sqrt{q}-1)(2\sqrt{q}-1)}{6{(\sqrt{q}-1)}^2}}]=\end{array}$

$={\displaystyle \frac{A^2}{q}}\mathrm{\sum }_{i_1=0}^{\sqrt{q}-1}\left[{\displaystyle \frac{4\sqrt{q}{i}_1^2}{{(\sqrt{q}-1)}^2}}-{\displaystyle \frac{4\sqrt{q}{i}_1}{\sqrt{q}-1}}+{\displaystyle \frac{2\sqrt{q}(2\sqrt{q}-1)}{3(\sqrt{q}-1)}}\right]=$

$\begin{array}{c}={\displaystyle \frac{A^2}{q}}\mathrm{\sum }_{i_1=0}^{\sqrt{q}-1}[{\displaystyle \frac{4{(\sqrt{q})}^2(\sqrt{q}-1)(2\sqrt{q}-1)}{6{(\sqrt{q}-1)}^2}}-\\ -{\displaystyle \frac{4{(\sqrt{q})}^2(\sqrt{q}-1)}{2(\sqrt{q}-1)}}+{\displaystyle \frac{2{(\sqrt{q})}^2(2\sqrt{q}-1)}{3(\sqrt{q}-1)}}]=\end{array}$

$\begin{array}{c}={\displaystyle \frac{A^2}{q}}\left({\displaystyle \frac{4q(2\sqrt{q}-1)}{3(\sqrt{q}-1)}}-2q\right)=\left({\displaystyle \frac{4(2\sqrt{q}-1)-6(\sqrt{q}-1)}{3(\sqrt{q}-1)}}\right)=\\ ={\displaystyle \frac{8\sqrt{q}-4-6\sqrt{q}+6}{3(\sqrt{q}-1)}}={\displaystyle \frac{2A^2(\sqrt{q}+1)}{3(\sqrt{q}-1)}}.\end{array}$

Максимальная амплитуда сигналов определяется минимальным расстоянием ∆ между ними

$A_{\max }={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{2}}{i}_{1\max }={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{2}}{i}_{2\max }={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{2}}(\sqrt{q}-1)$,

тогда

$\overline{E}={\displaystyle \frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{6}}(q-1)$.

Для различного числа узлов созвездий при ∆=2 средняя энергия составляет:

q=4: $\overline{E}={\displaystyle \frac{2^2}{6}}(4-1)=2$;

q=16: $\overline{E}={\displaystyle \frac{2^2}{6}}(16-1)=10$;

q=64: $\overline{E}={\displaystyle \frac{2^2}{6}}(64-1)=42$;

q=256: $\overline{E}={\displaystyle \frac{2^2}{6}}(256-1)=170$;

q=1024: $\overline{E}={\displaystyle \frac{2^2}{6}}(1024-1)=682$.

Модель канала связи с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ) представлена на рис. 39.18.

Рис. 39.18 – Модель канала с АБГШ

Шум в канале представляется действительной n_Re(t) и мнимой n_Im(t) квадратурными составляющими.

Генераторы случайных чисел обычно формируют последовательности, которые равномерно заполняют некоторый заранее выбранный диапазон значений. На практике шумы подчиняются нормальному (гауссовскому) распределению плотности вероятности.

Для формирования гауссовского распределения амплитуд применим метод Бокса-Мюллера, согласно которому

$\begin{array}{l}{n}_{\mathrm{Re}}(t)=\sqrt{-{\mathrm{\sigma }}^2\ln x_1}\cdot \cos (2\mathrm{\pi }{x}_2);\\ n_{\mathrm{Im}}(t)=\sqrt{-{\mathrm{\sigma }}^2\ln x_1}\cdot \sin (2\mathrm{\pi }{x}_2);\end{array}$

где σ² - дисперсия шума, x₁ и x₂ – случайные величины с равномерным распределением амплитуд в диапазоне от нуля до единицы.

39.2.2 Расчёт вероятности ошибки при передаче двоичных сигналов в канале с аддитивным белым гауссовским шумом

Функция плотности вероятности гауссовской или нормально-распределённой случайной величины определяется формулой

$p(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }{\mathrm{\sigma }}^2}}}{e}^{-{(x-m_x)}^2/2{\mathrm{\sigma }}^2}$,

где m_x – математическое ожидание.

Интегральная функция распределения ошибки равна

$\begin{array}{c}K(x)={\int }_{-\infty }^{x}p(u)du=\\ =1/\left(\sqrt{2\mathrm{\pi }{\mathrm{\sigma }}^2}\right){\int }_{-\infty }^x{e}^{-{(u-m_x)}^2/2{\mathrm{\sigma }}^2}du=\end{array}$

$\begin{array}{c}={\displaystyle \frac{1}{2}}\bullet {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}}{\int }_{-\infty }^{(x-m_x)/\sqrt{2}\mathrm{\sigma }}{e}^{-t^2}dt=\\ ={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}erf\left({\displaystyle \frac{x-m_x}{\sqrt{2}\mathrm{\sigma }}}\right),\end{array}$

где erf(x) – функция ошибок Лапласа, определяемая выражением

$\mathrm{erf}(x)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$.

Интегральная функция распределения выражается также через дополнительную функцию ошибок erfc(x):

$K(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{erfc}\left({\displaystyle \frac{x-m_x}{\sqrt{2}\mathrm{\sigma }}}\right),$

где

$\mathrm{erfc}(x)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}}{\int }_x^{\infty }{e}^{-t^2}dt=1-erf(x)$.

Функция, которая используется для определения площади под частью гауссовской функции плотности вероятности, называется гауссовским интегралом ошибок:

$Q(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left({\displaystyle \frac{x}{\sqrt{2}}}\right)$.

Для расчёта интеграла применим метод приближённого расчёта

$Q(x)\approx f(x)\mathrm{\sum }_{i=1}^5{a}_i{\left({\displaystyle \frac{1}{1+a_0}}\right)}^i,$

где $f(x)=(1/\sqrt{2\mathrm{\pi }})\exp (-x^2/2)$, a₀=0.2316419, a₁=0.31938153, a₂=–0.356563782, a₃=1.781477937, a₄=–1.821255978 , a₅=1.330274429. Погрешность расчёта не превышает значения $1\cdot {10}^{-7}$.

Задача оптимального приёма дискретных сигналов формулируется следующим образом. Имеется q сигналов s₀(t),…, s_q-1(t). При передаче случайно выбирается один из них в соответствии с вероятностным распределением P₀,…, P_q-1, P_i>1, ${\mathrm{\sum }}_{i=0}^{q-1}{P}_i=1$.

Приёмник наблюдает выход канала r(t). Задача приёмника состоит в определении номера переданного сигнала $\widehat{i}=(\mathrm{0,\dots }q-1)$. Решение приёмника может быть ошибочным. Оптимально построенный приёмник обеспечивает наименьшую вероятность ошибки $P_e=Pr\left[\widehat{i}\ne i\right]$. Канал формально может быть задан набором условных плотностей вероятностей w(r|si).

Для описания приёма (процесса формирования решения о переданном сигнале) используем понятие решающей области. Разобьём множество всех возможных значений вектора r на q непересекающихся областей R. Решение о переданном сигнале принимается по правилу $\widehat{i}=i$, если $r\in R$. Понятно, что вероятность ошибки зависит от конфигурации решающих областей R_i. Поэтому задача построения оптимального приёмника может быть переформулирована как задача построения решающих областей, обеспечивающих минимальную вероятность ошибки.

Пусть P_e(r) вероятность ошибки при условии, что принятый вектор равен r. Тогда безусловная вероятность ошибки равна

$P_{е}=1-\mathrm{\sum }_{i=0}^{q-1}\underset{R}{\int }Pr[i|r]w(r)dr$.

Чтобы вероятность ошибки была минимальной, должна быть максимальной сумма в правой части выражения, то есть нужно назначить решающие области таким образом, чтобы эта сумма была максимальной (рис. 39.19).

Рис. 39.19 - Схема оптимального приёмника (приёмника по МАВ)

Поскольку решающие области не пересекаются, то условие максимизации суммы эквивалентно максимизации каждого слагаемого этой суммы, то есть значения интеграла. Принятие решений с использованием решающих областей называется приёмом по максимуму апостериорной вероятности (МАВ).

На практике часто встречается случай, когда сигналы передаются равновероятно. В этом случае алгоритм носит название приёма по максимуму правдоподобия (МП).

39.2.3 Расчёт вероятности ошибки для 2-QAM

Рассмотрим простой случай передачи двоичных сигналов.

Передаваемые двоичные цифры 1 и 0 представляются аналоговыми уровнями $S_1=+\sqrt{E_b}$ и $S_0=-\sqrt{E_b}$, соответственно (рис. 39.20). Параметр E_b представляет собой мощность сигнала на сопротивлении 1 Ом или энергию бита информации.

Рис. 39.20– Диаграмма состояний 2-QAM

В канале связи сигналы подвергаются воздействию АБГШ, т.е. принимаемый сигнал – это либо y=S₁+n, либо y=S₀+n. Распределение условных вероятностей y при передаче сигналов определяется выражениями:

$p(y|S_0)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{\pi }{N}_o}}}\cdot e^{{\displaystyle \frac{-{(y-\sqrt{E_b})}^2}{N_o}}},$

$p(y|S_1)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{\pi }{N}_o}}}\cdot e^{{\displaystyle \frac{-{(y+\sqrt{E_b})}^2}{N_o}}},$

где N_o – спектральная плотность белого шума. Она связана с дисперсией соотношением

${\mathrm{\sigma }}^2=N_o/2$.

Приёмник при декодировании руководствуется правилом: если y>0, то принят сигнал 1, если y≤0, то принят сигнал 0.

Одним из важнейших критериев производительности цифровых систем связи является зависимость вероятности появления ошибочного бита P_b от отношения энергии сигнала, приходящейся на один бит, к спектральной плотности мощности аддитивного белого гауссовского шума E_b/N₀. При этом предполагается, что единственным источником искажений сигнала является тепловой шум (АБГШ). Удобство использования отношения E_b/N₀ вместо отношения мощности сигнала к мощности шума S/N, как в аналоговых системах связи, состоит в том, что так удобнее сравнивать производительность цифровых систем на битовом уровне. Это важно для цифровых систем, поскольку сигнал может иметь произвольное n-битовое значение (один символ может кодировать m бит). Параметр E_b/N₀ характеризует отношение сигнал-шум, приходящееся на один бит. Заметим, что в данном случае энергия бита совпадает с энергией передаваемого символа, т.к. он состоит из одного бита.

Связь между S/N и E_b/N₀ устанавливается соотношением

${\displaystyle \frac{S}{N}}={\displaystyle \frac{E_s/T_s}{N_o\mathrm{\Delta }F}}={\displaystyle \frac{E_s{R}_s}{N_o\mathrm{\Delta }F}}={\displaystyle \frac{E_{b}m{R}_s}{N_o\mathrm{\Delta }F}}$.

где T_s - время передачи символа, N - мощность шума, R_s - скорость передачи символов, ΔF - ширина полосы.

Как показал Шеннон, пропускная способность канала С с АБГШ является функцией средней мощности принятого сигнала S, средней мощности шума N и ширины полосы пропускания ΔF. Теорема Шеннона-Хартли записывается так:

$С=\mathrm{\Delta }F{\log }_2\left(1+{\displaystyle \frac{S}{N}}\right)$.

Если битовая скорость равна пропускной способности канала R=C, то

${\displaystyle \frac{S}{N_{o}R}}={\displaystyle \frac{E_b}{N_o}}$,

тогда

${\displaystyle \frac{R}{\mathrm{\Delta }F}}={\log }_2\left(1+{\displaystyle \frac{E_b}{N_o}}\cdot {\displaystyle \frac{R}{\mathrm{\Delta }F}}\right)$

или

${\displaystyle \frac{E_b}{N_o}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }F}{R}}\left(2^{R/\mathrm{\Delta }F}-1\right).$

График полученной зависимости представлен на рис. 39.21.

Рис. 39.21– График нормированной пропускной способности канала

Отношение R/ΔF называется спектральной эффективностью системы или эффективностью использования полосы частот и выражается в бит/с/Гц. Это отношение показывает, насколько эффективно система использует полосу частот. Для оптимального приёмника полоса ΔF примерно обратно пропорциональна длительности передачи одного символа T:

$\mathrm{\Delta }F\approx {\displaystyle \frac{1}{T}}={\displaystyle \frac{R}{k}}={\displaystyle \frac{R}{{\log }_{2}M}}$.

В результате спектральная эффективность системы равна

$R/\mathrm{\Delta }F\approx {\log }_{2}M$.

При неограниченной полосе и $R_s/\mathrm{\Delta }F\to 0$ минимально возможное значение E_b/N₀ равно пределу Шеннона – 1,6 дБ.

Рис. 39.22– Расчёт вероятности ошибки для 2-QAM

Вероятность ошибки приёма S₁ определяется площадью под кривой плотности распределения $p(y|s_1)$ (рис. 39.22):

$\begin{array}{c}p(e|s_1)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{\pi }{N}_o}}}\underset{-\infty }{\overset{0}{\int }}{e}^{{\displaystyle \frac{-{(y-\sqrt{E_b})}^2}{N_o}}}dy=\\ ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}}\underset{\sqrt{{\displaystyle \frac{E_b}{N_o}}}}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-z^2}dz={\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_b}{N_o}}}\right)\end{array}$,

где

$erfc\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}}\underset{x}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-x^2}dx$

представляет собой дополнительную функцию ошибок.

Вероятность ошибки приёма S₀ определяется площадью под кривой плотности распределения $p(y|s_0)$ :

$\begin{array}{c}p(e|s_0)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{\pi }{N}_o}}}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{{\displaystyle \frac{-{(y+\sqrt{E_b})}^2}{N_o}}}dy=\\ ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}}\underset{\sqrt{{\displaystyle \frac{E_b}{N_o}}}}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-z^2}dz={\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_b}{N_o}}}\right).\end{array}$

Полная вероятность символьной ошибки (SER - Symbol Error) (в данном случае совпадающая с вероятностью битовой ошибки BER – Bit Error) ошибки равна

$P_b=p(s_1)p(e|s_1)+p(s_0)p(e|s_0)$,

где $p(s_1)иp(s_0)$ - вероятности передачи сигналов.

Предполагая появление сигналов равновероятным: $p(s_1)=p(s_0)=1/2$, получаем, что вероятность ошибки равна

$\begin{array}{c}{P}_b={\displaystyle \frac{1}{2}}\left[{\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_b}{N_o}}}\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_b}{N_o}}}\right)\right]=\\ ={\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_b}{N_o}}}\right)=Q\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_b}{N_o}}}\right).\end{array}$

На рис. 39.23 представлены результаты прохождения сигналов 2-QAM через канал для случая равномерного (рис. 39.23,а) и нормального (рис. 39.23,б) распределения шумов.

а

б

Рис. 39.23

Для равномерного распределения нет составляющих с амплитудой, превышающей границы окружности, охватывающей шумовую область. Видно резкое падение их числа за условной границей области.

В случае нормального распределения число точек с амплитудой, приближающейся к границе шумовой области, значительно сокращается, но присутствуют и точки с амплитудой, превышающей условную границу. При одинаковом числе точек (n=2000) закон нормального распределения точнее описывает реальную шумовую ситуацию в канале передачи.

Результаты расчёта вероятности символьной (битовой) ошибки представлены в табл. 39.4…39.5.

Таблица 39.4

Таблица 39.5

39.2.4 Расчёт вероятности ошибки для 16-QAM

Средняя энергия созвездия E=10, поэтому нормируем все сигналы: E_s/10.

Рис. 39.24 – Расчёт вероятности ошибки для действительных и мнимых частей сигналов S₃, S₆, S₇

Анализ сигнального созвездия на рис. 39.24 позволяет сделать вывод, что все сигналы можно распределить на три группы:

1) сигналы внутри квадратной области, ограниченной пунктирными линиями в количестве ${\left(\sqrt{q}-2\right)}^2={\left(\sqrt{16}-2\right)}^2=4$ (S₅, S₆, S₉, S₁₀);

2) четыре сигнала по углам диаграммы (S₀, S₃, S₁₂, S₁₅,);

3) сигналы на внешней границе диаграммы (кроме угловых сигналов) в количестве $4\cdot \left(\sqrt{q}-2\right)=4\cdot \left(\sqrt{16}-2\right)=8$ (S₄…S₁₁).

Распределение условной вероятности y при передаче сигнала S₆, который входит в первую группу, определится в соответствии с выражением

$p(y|S_6)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{\pi }{N}_o}}}\cdot e^{{\displaystyle \frac{-{\left(y-\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}-j\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]\right)}^2}{N_o}}}.$

Сигнал будет принят без ошибки, если

$\begin{array}{c}p(r|S_6)=p(\mathrm{Re}\left[y\right]>\mathrm{0,}\mathrm{Re}\left[y\right]<2\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]|S_6)\times \\ \times p(\mathrm{Im}\left[y\right]>\mathrm{0,}\mathrm{Im}\left[y\right]<2\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]|S_6),\end{array}$

где

$p(\mathrm{Re}y>\mathrm{0,}\mathrm{Re}y<2\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]|S_6)=$

$\begin{array}{c}=1-[{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{\pi }{N}_o}}}\underset{-\infty }{\overset{0}{\int }}{e}^{{\displaystyle \frac{-{\left(\mathrm{Re}y-\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right)}^2}{N_o}}}dy+\\ +{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{\pi }{N}_o}}}\underset{2\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{{\displaystyle \frac{-{\left(\mathrm{Re}y-\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right)}^2}{N_o}}}dy]=\end{array}$

$=1-erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right),$

$p(\mathrm{Im}y>\mathrm{0,}\mathrm{Im}y<2\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]|S_6)=$

$\begin{array}{c}=1-[{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{\pi }{N}_o}}}\underset{-\infty }{\overset{0}{\int }}{e}^{{\displaystyle \frac{-{\left(\mathrm{Im}y-\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right)}^2}{N_o}}}dy+\\ +{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{\pi }{N}_o}}}\underset{2\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{{\displaystyle \frac{-{\left(\mathrm{Im}y-\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right)}^2}{N_o}}}dy]=\end{array}$

$=1-erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right).$

Вероятность правильного приёма S₆ равна

$p(r|S_6)={\left[1-erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right)\right]}^2.$

Вероятность ошибки приёма S₆ равна

$\begin{array}{c}p(e|S_6)=1-p(r|S_6)=1-{\left[1-erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right)\right]}^2=\\ =1-{\left[1-2Q\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{5N_o}}}\right)\right]}^2.\end{array}$

Распределение условной вероятности y при передаче сигнала S₃, который входит во вторую группу, определится в соответствии с выражением

$p(y|S_3)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\pi N_o}}}{e}^{{\displaystyle \frac{-{\left(y-3\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]-j3\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]\right)}^2}{N_o}}}.$

Сигнал будет принят без ошибки, если

$p(r|S_3)=p\left[\mathrm{Re}y>2\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}|S_3\right)\right]\cdot p\left[\mathrm{Im}y>2\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}|S_3\right)\right],$

где

$\begin{array}{c}p\left(\mathrm{Re}y>2\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}|S_3\right]\right)=1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\pi N_o}}}\underset{-\infty }{\overset{2\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right)}{\int }}{e}^{{\displaystyle \frac{-{\left(\mathrm{Re}y-3\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]\right)}^2}{N_o}}}dy=\\ =1-{\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right),\end{array}$

$\begin{array}{c}p(\mathrm{Im}y>2\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]|S_3)=1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{\pi }{N}_o}}}\underset{-\infty }{\overset{2\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]}{\int }}{e}^{{\displaystyle \frac{-{\left(\mathrm{Im}y-3\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]\right)}^2}{N_o}}}dy=\\ =1-{\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right).\end{array}$

Вероятность правильного приёма S₃ равна

$p(r|S_3)={\left[1-{\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right)\right]}^2.$

Вероятность ошибки приёма S₃ равна

$\begin{array}{c}p(e|S_3)=1-p(r|S_3)=1-{\left[1-{\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right)\right]}^2=\\ =1-{\left[1-Q\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{5N_o}}}\right)\right]}^2.\end{array}$

Распределение условной вероятности y при передаче сигнала S₇, который входит в третью группу, определится в соответствии с выражением

$p(y|s_7)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\pi N_o}}}{e}^{{\displaystyle \frac{-{\left(y-3\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]-j\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]\right)}^2}{N_o}}}.$

Сигнал будет принят без ошибки, если

$\begin{array}{c}p(r|S_7)=p\left(\mathrm{Re}y>2\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]|S_7\right)\times \\ \times p\left(\mathrm{Im}y>\mathrm{0,}\mathrm{Im}y<2\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]|S_7\right)\end{array}$,

где

$\begin{array}{c}p(\mathrm{Re}y>2\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]|S_7)=1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{\pi }{N}_o}}}\underset{-\infty }{\overset{2\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]}{\int }}{e}^{{\displaystyle \frac{-{\left(\mathrm{Re}y-3\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]\right)}^2}{N_o}}}dy=\\ =1-{\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right),\end{array}$

$p(\mathrm{Im}y>\mathrm{0,}\mathrm{Im}y<2\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]|s_7)=$

$\begin{array}{c}=1-[{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{\pi }{N}_o}}}\underset{-\infty }{\overset{0}{\int }}{e}^{{\displaystyle \frac{-{\left(\mathrm{Im}y-\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right)}^2}{N_o}}}dy+\\ +{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{\pi }{N}_o}}}\underset{2\left[\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right]}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{{\displaystyle \frac{-{\left(\mathrm{Im}y-\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10}}}\right)}^2}{N_o}}}dy]=\end{array}$

$=1-erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right).$

Вероятность правильного приёма S₇ равна

$p(r|S_7)=\left[1-{\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right)\right]\cdot \left[1-erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right)\right]$.

Вероятность ошибки приёма S₇ равна

$\begin{array}{c}p(e|S_7)=1-p(r|S_7)=\\ =1-\left[1-{\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right)\right]\cdot \left[1-erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right)\right].\end{array}$

Вероятность символьной ошибки для всего набора из 16-ти сигналов (т.е. для 16-QAM) равна

$P_e={\displaystyle \frac{4}{16}}p(e|S_3)+{\displaystyle \frac{4}{16}}p(e|S_6)+{\displaystyle \frac{8}{16}}p(e|S_7)=$

$={\displaystyle \frac{1}{4}}\left\{4-{\left[1-{\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right)\right]}^2-{\left[1-erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right)\right]}^2\right\}-$

$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left\{\left[1-{\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right)\right]\left[1-erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right)\right]\right\}.$

После упрощения получаем

$P_e={\displaystyle \frac{3}{2}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right)-{\displaystyle \frac{9}{16}}erf{c}^2\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right).$

Пренебрегая составляющими второй степени (erfc²(x)) получаем

$P_e\approx {\displaystyle \frac{3}{2}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{E_s}{10N_o}}}\right)=3Q\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_s}{10N_o}}}\right).$

Формула для расчёта битовой ошибки при m=4 выглядит так:

$\begin{array}{c}{P}_b={\displaystyle \frac{3}{2\cdot m}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{4E_b}{10N_o}}}\right)-{\displaystyle \frac{9}{16\cdot m^2}}erf{c}^2\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{4E_b}{10N_o}}}\right)=\\ ={\displaystyle \frac{3}{2\cdot 4}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{4E_b}{10N_o}}}\right)-{\displaystyle \frac{9}{16\cdot 4^2}}erf{c}^2\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{4E_b}{10N_o}}}\right).\end{array}$

Результаты расчёта вероятности символьной и битовой ошибки представлены в табл. 39.6…39.7.

Таблица 39.6

Таблица 39.7

Графики зависимостей вероятности символьной и битовой ошибки от величины отношения сигнал/шум представлены на рис. 39.25.

а

б

Рис. 39.25

Для квадратного созвездия M-QAM расчёт вероятности ошибки приёма для первой группы рассчитывается по формуле

$\begin{array}{c}{P}_{e1}={\left(\sqrt{q}-2\right)}^2\left\{1-{\left[1-erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{3E_s}{2(q-1)N_o}}}\right)\right]}^2\right\}=\\ ={\left(\sqrt{q}-2\right)}^2\left\{1-{\left[1-2Q\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{3E_s}{(q-1)N_o}}}\right)\right]}^2\right\}.\end{array}$

Для второй группы вероятность ошибки приёма рассчитывается по формуле

$\begin{array}{c}{P}_{e2}=4\left\{1-{\left[1-{\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{3E_s}{2(q-1)N_o}}}\right)\right]}^2\right\}=\\ =4\left\{1-{\left[1-Q\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{3E_s}{(q-1)N_o}}}\right)\right]}^2\right\}.\end{array}$

Для третьей группы вероятность ошибки приёма рассчитывается по формуле

$\begin{array}{c}{P}_{e3}=4(\sqrt{q}-2)\{1-\left[1-{\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{3E_s}{2(q-1)N_o}}}\right)\right]\times \\ \times \left[1-erfc\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{3E_s}{2(q-1)N_o}}}\right)\right]\}=\end{array}$

$\begin{array}{c}=4(\sqrt{q}-2)\{1-\left[1-Q\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{3E_s}{(q-1)N_o}}}\right)\right]\times \\ \times \left[1-2Q\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{3E_s}{(q-1)N_o}}}\right)\right]\}.\end{array}$

Вероятность символьной ошибки для всего набора из q сигналов (т.е. для N-QAM) равна

$\begin{array}{c}{P}_e={\displaystyle \frac{1}{q}}\left(P_{e1}+P_{e2}+P_{e3}\right)=\\ ={\displaystyle \frac{4(\sqrt{q}-1)}{\sqrt{q}}}Q\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{3E_s}{(q-1)N_o}}}\right)-{\displaystyle \frac{4{(\sqrt{q}-1)}^2}{q}}{Q}^2\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{3E_s}{(q-1)N_o}}}\right).\end{array}$

Формула для расчёта битовой ошибки будет выглядеть так:

$P_b={\displaystyle \frac{4(\sqrt{q}-1)}{m\sqrt{q}}}Q\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{3m{E}_b}{(q-1)N_o}}}\right)-{\displaystyle \frac{4{(\sqrt{q}-1)}^2}{m^{2}q}}{Q}^2\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{3m{E}_b}{(q-1)N_o}}}\right).$

Сравнение различных видов QAM при вероятности символьной ошибки 0,0001 представлено в табл. 39.8, при вероятности битовой ошибки 0,0001 представлено в табл. 39.9.

Таблица 39.8

Таблица 39.9

Графики зависимостей вероятности битовой ошибки от величины отношения сигнал/шум для M-QAM при M=2, 4, 16, 64, 256, 1024 представлены на рис. 39.26.

Рис. 39.26– Графики вероятности BER

Формированию сигнального созвездия (диаграммы) QAM посвящён представленный ниже интерактивный скрипт.

Предусмотрено два режима работы: 1) упорядоченной двоичной последовательности, при котором формируется полное сигнальное созвездие; 2) случайной двоичной последовательности, при котором длина последовательности задаётся.

Для режима случайной последовательности:

1) вначале необходимо выбрать вид QAM, для чего из выпадающего списка выбрать значение числа передаваемых бит последовательности на один символ; 2) затем следует задать и ввести в текстовое окно количество бит в передаваемой последовательности двоичных чисел; 3) на следующем шаге с помощью ползунка задать значение отношения сигнал/шум; 4) нажать кнопку "Формировать двоичные данные".

Чёрным цветом отображаются состояния сигнала, какими они должны быть в сигнальном созвездии. Зелёным цветом отображаются состояния принятого сигнала с допустимой ошибкой. Красным цветом отображаются состояния ошибочно принятого сигнала.

В системах связи ошибки вызваны изменениями фазы сигналов, которые обусловлены эффектом дрожания фронта импульсного сигнала, относительно синхроимпульсов - джиттером (от англ. "jitter"). Даже относительно малые амплитуды джиттера могут вызвать битовые ошибки.

В настоящее время разработан метод вычисления BER с помощью, так называемой глаз-диаграммы (или глазковой диаграммы) путём измерения Q-фактора. Q-фактор определяется путём статистической обработки результатов измерения амплитуды и фазы сигнала непосредственно по глаз-диаграмме (см. рисунок):

$Q={\displaystyle \frac{|U_1-U_0|}{{\sigma }_1+{\sigma }_0}},$

где U₁ и U₂ - математические ожидания, или средние значения, состояний «1» и «0»;

σ₁ и σ₀ - их среднеквадратические отклонения.

Рисунок – Глазковая диаграмма

При этом коэффициент ошибок BER для двухуровневого сигнала пропорционален площади пересечения двух функций распределения состояний «1» и «0»:

$BER=P_b={\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left({\displaystyle \frac{|U-U_0|}{{\sigma }_0}}\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left({\displaystyle \frac{|U-U_1|}{{\sigma }_1}}\right),$

где U – порог принятия решения.

При x>3 функцию erfc(x) можно приближённо вычислить по формуле:

$erfc(x)\approx {\displaystyle \frac{1}{x\sqrt{2\pi }}}\exp \left(-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\right).$

В этом случае порог принятия решения, при котором значение BER минимально, равен

$U_{\min }={\displaystyle \frac{U_1\cdot {\sigma }_0+U_0\cdot {\sigma }_1}{{\sigma }_1+{\sigma }_0}}$

и делит зону ошибок на две равные части.

Сам коэффициент ошибок можно определить по формуле:

$BER=P_b={\displaystyle \frac{1}{2}}erfc\left({\displaystyle \frac{Q}{\sqrt{2}}}\right)\approx {\displaystyle \frac{1}{Q\sqrt{2}}}\exp \left(-{\displaystyle \frac{Q^2}{2}}\right).$

Современные высокоскоростные цифровые записывающие осциллографы реального масштаба времени (digital storage oscilloscopes - DSO) являются наиболее универсальными, гибкими и широко используемыми инструментами для анализа джиттера с помощью глазковой диаграммы.

Формированию глазковой диаграммы посвящён представленный ниже интерактивный скрипт.

Режим "Импульсная характеристика+сигнал" означает вывод графика импульсной характеристики формирующего фильтра в верхнем графическом окне и полученной в результате обработки импульсной последовательности передаваемого сигнала - в нижнем. Режим "Сигнал+глаз-диаграмма" означает вывод графика импульсной последовательности передаваемого сигнала в верхнем графическом окне и сформированной "глаз-диаграммы" - в нижнем. На графике передаваемого сигнала светло-зелёным цветом отображаются смещённые во времени импульсные характеристики формирующего фильтра.

При нажатии кнопки "Расчёт" формируется случайная последовательность из 20 импульсов. Для улучшения статистической достоверности предусмотрена возможность накопить результат для построения глаз-диаграммы при большем числе импульсов, включая режим "Накопить результат".

Виды модуляции "BPSK" и "QPSK" соответствуют двухуровневым и четырёхуровневым импульсам, соответственно. По характерному виду импульсной характеристики доступны следующие разновидности формирующих фильтров: приподнятый косинус (фильтр Найквиста), корень из приподнятого косинуса, треугольник и прямоугольник. Параметр "alpha" - коэффициент сглаживания АЧХ (rolloff factor), принимает значения от "0" до "1".

39.3. Цифровые демодуляторы

В соответствии с фазорной моделью сигнала

$\dot{U}(t)={\dot{U}}_m(t)e^{j{\mathrm{\omega }}_{o}t}=[U_c(t)+j{U}_s(t)]e^{j{\mathrm{\omega }}_{o}t}$.

Формирование необходимых квадратурных составляющих осуществляется с помощью:

1) преобразователя Гильберта (ПГ), на выходе которого амплитуда сигнала не изменяется, а фаза всех составляющих спектра изменяется на четверть периода, т.е. на 90º;

2) фазовращателей;

3) полифазных (комплексных) фильтров.

Реализации формирователей квадратурных составляющих для непрерывных и дискретных сигналов представлены на рис. 39.27.

Рис. 39.27

Модуль комплексной амплитуды представляет огибающую исходного модулированного колебания и определяется в соответствии с выражением

$U_m(t)=\sqrt{U_{с}^2(t)+U_s^2(t)}$,

фаза огибающей равна

$\mathrm{\phi }(t)=arctg{\displaystyle \frac{U_s(t)}{U_c(t)}}$.

Структура цифрового демодулятора АМ сигналов представлена на рис. 39.28.

Рис. 39.28

Для демодуляции ФМ- и ЧМ-сигналов используют соотношение

$\mathrm{\phi }(t)=arctg{\displaystyle \frac{U_s(t)}{U_c(t)}}$.

Тогда мгновенная частота $f(t)=d\phi (t)/(2\mathrm{\pi }dt)$ определится соотношением

$f(t)={\displaystyle \frac{1}{2\mathrm{\pi }}}{\left[arctg{\displaystyle \frac{U_s(t)}{U_c(t)}}\right]}^{\prime }={\displaystyle \frac{U_c(t)U_s^{\prime }(t)-U_c^{\prime }(t)U_s(t)}{2\mathrm{\pi }(U_c^2(t)+U_s^2(t))}}$.

После перехода к дискретизированному и квантованному сигналу, а также приближённой замены производных первыми разностями получим

$K(nT)={\displaystyle \frac{U_c(nT)U_s(nT-T)-U_s(nT)U_c(nT-T)}{2\mathrm{\pi }T\left[U_c^2(nT)+U_s^2(nT)\right]}}$.

Структура детектора (рис. 39.29), реализующая алгоритм демодуляции, включает четыре пе­ремножителя, делитель, два сумматора, два блока задержки, ЦАП и ФНЧ.

Рис. 39.29

39.4 Цифровые синтезаторы частоты

Цифровой синтезатор частоты преобразует входной код в гармоническое или импульсное колебание с соответствующей коду частотой. Синтезатор может быть полностью реализован на цифровых ИС. Различают синтезаторы косвенного и прямого типов.

Синтезаторы косвенного типа основаны на петле ФАПЧ. Выходной сигнал синтезатора может иметь гармоническую форму в структуре ФАПЧ (рис. 39.30), содержащей импульсный фазовый детектор (ИФД), перестраиваемый генератор (ПГ) и при необходимости преобразователь частоты (ПЧ).

Рис. 39.30

Входной код может вводиться вручную или с помощью специального программного устройства. Код может воспроизводиться специальным регистром, входящим в состав системы АПЧ и управляемым с помощью микропроцессора. В синтезаторе обычно используется один высокостабильный задающий кварцевый генератор. Наиболее распространённым способом построения синтезатора является структура на основе ФАПЧ с делителем с переменным коэффициентом деления ДПКД.

Структурная схема синтезатора частоты на основе ФАПЧ с ДПКД представлена на рис. 39.31.

Рис. 39.31

Схема содержит кроме упомянутых выше ДПКД и ПГ содержит управляющий элемент УЭ, фильтр нижних частот ФНЧ, импульсный фазовый детектор ИФД, делитель частоты ДЧ, опорный генератор ОГ.

Структурная схема ИФД представлена на рис. 39.32,а.

а

б

в

Рис. 39.32

Принцип действия поясняется эпюрами, представленными на рис. 39.32,б. Детекторная характеристика ИФД соответствует рис. 39.32,в.

Синтезаторы прямого типа основаны на операциях суммирования, вычитания, умножения и деления частоты (рис. 39.33).

Рис. 39.33

Один из возможных способов умножения частоты сигнала представлен на рис. 39.34.

Рис. 39.34

39.5. Цифровая автоматическая регулировка усиления

Недостатками аналогового метода регулирования являются: искажения сигнала из-за нелинейности регулируемых приборов, неидентичность ха­рактеристик вследствие разброса параметров компонентов, трудность по­лучения малого (нулевого) изменения выходного сигнала в широком диа­пазоне изменения входного воздействия, неустойчивость работы из-за наличия петли обратной связи.

От этих недостатков свободны дискретные АРУ, которые могут применяться как в ЦРПрУ, так и в аналоговом РПрУ, использующем АЦП (рис. 39.35).

Рис. 39.35

В основе рассматриваемых регулировок лежит принцип диск­ретного регулирования коэффициента передачи управляемого тракта. В отличие от аналоговых систем, здесь коэффициент передачи изменяется скачкообразно (рис. 39.36). Как видно из рисунка, для значений входного сигнала в интервале $U_{\text{вхi}}\dots U_{\text{вхi+1}}$ значение коэффициента передачи тракта не изменяется, а амплитудная характеристика может быть строго линейной.

Амплитудная характеристика цифровой АРУ описывается функцией (рис. 39.36,а):

$U_{\text{вых}}={\displaystyle \frac{K_0}{\prod _{i=1}^n{K}_i}}{U}_{\text{вх}}$

где n - число дискретных значений коэффициента передачи во всем динамическом диапазоне регулятора, K_i - коэффициент, показывающий, во сколько раз меняется коэффициент передачи за одно дискретное приращение.

Рис. 39.36

Регулировочная характеристика (рис. 39.36,б) описывается ступенчатой функцией, так что на каждом интервале коэффициент передачи остаётся неизменным.

Для увеличения линейности амплитудной характеристики в качестве регуляторов используются дискретные управляемые аттенюаторы, варианты схем которых представлены на рис. 39.37.

Рис. 39.37

39.6. Микропроцессорное управление РПрУ

В технике радиоприёма для управления применяются микропроцессоры (МП). С помощью МП в РПрУ выполняются сбор и обработка информации о настройке РПрУ, текущей ЭМО при радиоприёме, характеристиках функцио­нирования РПрУ и качестве принимаемой информации, значениях частот настроек, отношении С/Ш, производится идентификация нелинейного пора­жения радиоприёма, контролируется исправность тракта, оптимизируются характеристики РПрУ и производится его адаптация к текущей ЭМО, отоб­ражается информация о работе РПрУ и состоянии ЭМО при приёме, произво­дится выдача указаний по соответствующему управлению.

Примерная структурная схема телеприёмника с блоком обработки на основе МП показана на рис. 39.38.

Рис. 39.38

39.7. Цифровые фильтры

Аналоговые фильтры разрабатываются с привлечением преобразования Лапласа, цифровые фильтры разрабатываются с помощью Z-преобразования.

Цель этих преобразований схожа – получить диаграмму полюсов и нулей. Преобразование Лапласа связано с решением дифференциальных уравнений и комплексной p-плоскостью. Соответственно, Z-преобразование имеет дело с разностными уравнениями и комплексной z-плоскостью.

Однако эти методы имеют существенные отличия, а именно: p-плоскость расположена в прямоугольной системе координат, в то время как z-плоскость использует полярную систему координат.

Преобразование Лапласа определяет связь между частотной и временной областями в соответствии с выражением:

$X(s)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}x(t)e^{-pt}dt$.

Заменяя комплексную величину p её эквивалентным выражением p=σ+jω, получим:

$X(\mathrm{\sigma },\mathrm{\omega })=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}x(t)e^{-\mathrm{\sigma }t}{e}^{-j\mathrm{\omega }t}dt$.

Преобразование Лапласа может быть изменено на Z-преобразование за три шага.

В начале происходит замена непрерывного сигнала дискретным во времени:

$X(\mathrm{\sigma },\mathrm{\omega })=\mathrm{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-\mathrm{\sigma }nT}\cdot e^{-j\mathrm{\omega }nT}$.

На втором шаге переписываем показательный член:

$e^{-\mathrm{\sigma }nT}=r^{-n}$,

что позволяет записать

$X(r,\mathrm{\omega }T)=\mathrm{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }x(n)r^{-n}{e}^{-j\mathrm{\omega }nT}=\mathrm{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }x(n){\left(r{e}^{j\mathrm{\omega }T}\right)}^{-n}$.

Третий шаг преобразования после введения комплексной величины

$z=r{e}^{j\mathrm{\omega }T}$

даёт следующую стандартную форму записи для Z-преобразования:

$X(z)=\mathrm{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}$.

Рис. 39.39

Рис. 39.39 поясняет различие между p-плоскостью преобразования Лапласа и z-плоскостью Z-преобразования. Положение на p-плоскости определяется в прямоугольной системе координат двумя параметрами: σ – экспоненциальной составляющей по горизонтальной оси, и ω - частотой по вертикальной оси. В z-области положение на плоскости определяется в полярной системе координат переменными r - расстоянием от начала координат (экспоненциальная составляющая) и φ - угловым расстоянием от положительной горизонтальной оси. Вертикальные линии на p-плоскости, соответствуют окружностям на z-плоскости.

Вертикальные линии в левой p-полуплоскости соответствуют окружностям внутри круга единичного радиуса на z-плоскости. Аналогично, вертикальные линии в правой p-полуплоскости соответствуют окружностям на внешней стороне единичного круга z-плоскости.

Непрерывная система неустойчива, когда полюса занимают правую половину p-плоскости, так как экспоненциальная компонента неограниченно возрастает при σ>0. Следовательно, дискретная система неустойчива, когда полюса находятся вне единичного круга на z-плоскости.

В непрерывных системах при анализе АЧХ частота принимает любые значения между нулём (постоянный ток) и бесконечностью вдоль положительной оси. При этом в p-плоскости значения АЧХ определяются при σ=0 вдоль положительной вертикальной оси. Для дискретных систем частота может иметь значения между нулем и половиной частоты выборки. Повторяющаяся АЧХ дискретной системы определяется в z-плоскости вдоль единичной окружности против часовой стрелки с периодом 2π.

Передаточная функция дискретного фильтра описывается выражением:

$H(z)={\displaystyle \frac{(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)\dots }{(z-p_1)(z-p_2)(z-p_2)\dots }}$

Рис. 39.40

Для заграждающего фильтра диаграмма полюсов и нулей на z-плоскости соответствует рис. 39.40.

Координаты полюсов и нулей:

полярная система координат прямоугольная система координат

$z_1=1.00e^{j(\mathrm{\pi }/4)}$, $z_1=0.7071+j0.7071$;

$z_2=1.00e^{j(-\mathrm{\pi }/4)}$, $z_2=0.7071-j0.7071$;

$p_1=0.90e^{j(\mathrm{\pi }/4)}$, $p_1=0.6364+j0.6364$;

$p_2=0.90e^{j(-\mathrm{\pi }/4)}$, $p_2=0.6364-j0.6364$.

Передаточная функция равна

$H(z)={\displaystyle \frac{[z-(0.7071+j0.7071)][z-(0.7071-j0.7071)]}{[z-(0.6364+j0.6364)][z-(0.6364-j0.6364)]}}$,

$H(z)={\displaystyle \frac{1.000-1.414z+1.000z^2}{0.810-1.273z+1.000z^2}}$

или

$H(z)={\displaystyle \frac{1.000-1.414z^{-1}+1.000z^{-2}}{1.000-1.273z^{-1}+0.810z^{-2}}}$.

В общем случае передаточная функция соответствует выражению

$H(z)={\displaystyle \frac{a_o+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}\dots }{1-b_1{z}^{-1}-b_2{z}^{-2}\dots }}$

Цифровой фильтр (ЦФ) представляет собой вычислительное устройство, в котором над кодовыми словами производятся определённые математические операции (запоминание, сложение, умножение, задержка во времени), соответствующие заданному алгоритму. В результате этих операций на выходе ЦФ получаются новые кодовые слова, соответствующие профильтрованному сигналу. Синтез ЦФ проводится по заданной передаточной характеристике на основе типовых соединений отдельных звеньев: элементов задержки (Z^-1), сумматоров (Σ), масштабирующих звеньев (d), перемножителей и линий передачи.

Очень часто на ЦФ подаются не квантованные отсчёты, а только дискретизированные, над которыми и совершаются математические операции. Такой фильтр называется дискретным.

Достоинством цифрового фильтра является отсутствие реактивных эле­ментов, стабильность характеристики, удобство и простота изменения АЧХ и ФЧХ, возможность построения неминимально-фазовых цепей. Для цифрового фильтра все изменения связаны с перепрограммированием ЭВМ, в которой осуществляются операции над отсчётами с целью получения соответствующих отсчётов выходного сигнала.

Рис. 39.41

Рассмотрим аналоговый фильтр верхних частот 1-го порядка (рис. 39.41). Ток в нагрузке можно определить следующим образом:

$i=С{\displaystyle \frac{d{U}_c}{dt}}$

или $i={\displaystyle \frac{U_{\text{вых}}}{R}}$.

Так как выходное напряжение равно $U_{\text{c}}{=U}_{\text{вх}}-U_{\text{вых}}$, то

$i=С{\displaystyle \frac{{d(U}_{\text{вх}}-U_{\text{вых}})}{dt}}={\displaystyle \frac{U_{\text{вых}}}{R}}$.

Осуществим далее переход от непрерывного сигнала к дискретному. Пусть U_вх(mT)=X_m, U_вых(mT)=Y_m, U_вх[(m–1)T]=X_m–1, U_вых[(m–1)T]=Y_m–1. Здесь m – номер выборки, а (m–1) означает задержку сигнала на один такт.

Производную для дискретного сигнала определим так:

${\displaystyle \frac{d(U_{\text{вх}}-U_{\text{вых}})}{dt}}={\displaystyle \frac{\left(X_m-X_{m-1}\right)-\left(Y_m-Y_{m-1}\right)}{T}}$.

Тогда выражение для тока можно записать в следующем виде

$i=С{\displaystyle \frac{\left(X_m-X_{m-1}\right)-\left(Y_m-Y_{m-1}\right)}{T}}={\displaystyle \frac{Y_m}{R}}$.

Разрешая полученное равенство относительно Y_m, получаем

$\begin{array}{c}{Y}_m={\displaystyle \frac{RC}{RC+T}}{X}_m-{\displaystyle \frac{RC}{RC+T}}{X}_{m-1}+\\ +{\displaystyle \frac{RC}{RC+T}}{Y}_{m-1}=f(X_m,X_{m-1},Y_{m-1})\end{array}$

или

$Y_m=a_1{Y}_{m-1}+b_o{X}_m+b_1{X}_{m-1}$,

где а₁=RC/(RC+T), b₀=RC/(RC+T), b₁=−RC/(RC+T).

Для произвольного случая разностное уравнение имеет вид

$Y_m(mT)=\mathrm{\sum }_{i=0}^N{b}_{i}x[(m-i)T]-\mathrm{\sum }_{j=1}^M{a}_{j}y[(m-j)T]$.

Рис. 39.42

Этому уравнению соответствует структура, представленная на рис. 39.42.

Разностное уравнение можно записать в следующем виде:

$\mathrm{\sum }_{j=0}^M{a}_{j}y[(m-j)T]=\mathrm{\sum }_{i=0}^N{b}_{i}x[(m-i)T]$,

где M и N общее число выборок выходного и входного дискретных сигналов.

Вводя Z-преобразование и учитывая, что

$X(z)z^{-m}=z[(x(n-m)T]$

получим

$\mathrm{\sum }_{j=0}^M{a}_{j}y(z)z^{-j}=\mathrm{\sum }_{i=0}^N{b}_{i}x(z)z^{-i}$.

Передаточная функция цифрового фильтра имеет вид:

$H(z)={\displaystyle \frac{y(z)}{x(z)}}=\mathrm{\sum }_{i=0}^N{b}_i{z}^{-i}/\mathrm{\sum }_{j=0}^M{a}_j{z}^{-j}$

Если a_j=0 для j>1, то фильтры называют нерекурсивными, а при a_j≠0 - рекурсивными.

Рис. 39.43

На рис. 39.43 показана структура рассмотренного выше заграждающего фильтра. Для анализируемого ФВЧ получим

$H(z)={\displaystyle \frac{b_0+b_1{z}^{-1}}{1+a_1{z}^{-1}}}$.

Структура фильтра соответствует рис. 39.44.

Рис. 39.44

Для построения АЧХ осуществляем подстановку (для r=1)

$z=e^{j\mathrm{\omega }T}$.

В результате получим

$H(z)={\displaystyle \frac{b_0{e}^{pT}+b_1}{e^{pT}+a_1}}$

или

$\begin{array}{c}H(\mathrm{\omega })={\displaystyle \frac{b_0\left[\cos (\mathrm{\omega }T)+j\sin (\mathrm{\omega }T)\right]+b_1}{\cos (\mathrm{\omega }T)+j\sin (\mathrm{\omega }T)+a_1}}\to |H(\mathrm{\omega })|=\\ ={\displaystyle \frac{RC}{RC+T}}\sqrt{{\displaystyle \frac{{\left[\cos (\mathrm{\omega }T)-1\right]}^2+{\sin }^2\left(\mathrm{\omega }T\right)}{{\left[\cos (\mathrm{\omega }T)-{\displaystyle \frac{RC}{RC+T}}\right]}^2+{\sin }^2\left(\mathrm{\omega }T\right)}}}.\end{array}$

Рис. 39.45

Частотная характеристика (рис. 39.45) повторяется с периодом 2π. Частота при этом должна изменяться от нуля до половины частоты дискретизации или в угловом измерении от нуля до π. Углы от π до 2π соответствуют отрицательным частотам.

Обычно для преобразования из p-области в z-область и обратно применяются следующие подстановки:

$z={\displaystyle \frac{2+pT}{2-pT}}$, $p={\displaystyle \frac{2(z-1)}{T(z+1)}}$.

При этом осуществляется преобразование бесконечной частотной оси p-области в частотный диапазон от 0 до π (от 0 до 0,5 частоты дискретизации) в z-области и наоборот. АЧХ ФВЧ при этом соответствует рис. 39.46.

Рис. 39.46

Формирование АЧХ цепи на основе диаграммы полюсов и нулей на z-плоскости производится так же, как и в случае p-плоскости по формуле (32.3), что демонстрирует представленный ниже интерактивный скрипт.

Выберите количество нулей

0 1 2

Выберите количество полюсов

1 2 4

Передаточная функция

Z²+ Z+

---

Z⁴+ Z³+ Z²+ Z+

Информация о полюсах функции

p1= +j Qp1=
p2= -j Qp2=
p3= +j Qp3=
p4= -j Qp4=

Информация о нулях функции

z1= +j
z2= -j

После выбора количества полюсов и нулей следует нажать кнопку "Расчёт". При нажатии левой кнопки мыши над выбранным полюсом или нулём объект выделяется красным цветом и доступен для перемещения по диаграмме. Параметры диаграммы автоматически рассчитываются и рисуется АЧХ, соответствующая текущему расположению полюсов и нулей. Ползунковый элемент управления "W (рад)" предназначен для формирования угла поворота вектора текущей круговой частоты в полярной системе координат. Ползунковый элемент управления "θ_max (град)" предназначен для формирования максимального значения угла поворота вектора круговой частоты. Текущее значение круговой частоты и результат расчёта коэффициента передачи отображаются в поле "Результат измерения: w (рад/сек), K".

Очень качественная демонстрация формирования диаграммы полюсов и АЧХ цифрового фильтра представлена на сайте Колледжа инженерии университета Пердью (College of Engineering of Purdue University USA).

Исследовать основные характеристики цифровых фильтров и послушать результат обработки различных сигналов можно в интерактивном апплете DFilter от Paul Falstad.